Республиканская олимпиада по математике, 2020 год, 11 класс


Задача №1.  Найдите все такие пары $(m, n)$ натуральных чисел, что $n^4 \ | \ 2m^5 - 1$ и $m^4 \ | \ 2n^5 + 1$. Запись $a \ | \ b$ обозначает, что $a$ делит $b$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все функции $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ такие, что для любых $x, y \in \mathbb{R}^+$ верно равенство: \[f(x) f(y) = f \left( \frac{xy}{x f(x) + y} \right).\] $\mathbb{R}^+$ обозначает множество положительных действительных чисел. ( Болатов А. )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  На медиане $CM$ треугольника $ABC$ отмечена точка $N$ так, что $MN \cdot MC = AB^2/4$. Прямые $AN$ и $BN$ вторично пересекают описанную окружность $\triangle ABC$ в точках $P$ и $Q$, соответственно. $R$ — точка отрезка $PQ$, ближайшая к $Q$, такая что $\angle NRC = \angle BNC$; $S$ — точка отрезка $PQ$, ближайшая к $P$, такая что $\angle NSC = \angle ANC$. Докажите, что $RN = SN$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Марат и Алибек играют в игру на бесконечной в обе стороны клетчатой полоске, в которой клетки пронумерованы последовательными целыми числами слева направо ($\ldots$, $-2,$ $-1,$ 0, 1, 2, $\ldots$). Марат в свой ход ставит один крестик в любую свободную клетку, а Алибек в свой ход ставит нули в любые 2020 свободных клеток. Марат победит, если ему удастся получить такие 4 клетки отмеченные крестиками, что соответствующие номера клеток будут образовывать арифметическую прогрессию. Цель Алибека в этой игре — помешать Марату выиграть. Они ходят по очереди и первым ходит Марат. Сможет ли Марат выиграть как бы ни играл Алибек? ( Зиманов А. )
комментарий/решение(1)
результаты