Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 9 класс


Задача №1.  Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с $AB=AC$ и $\angle B = 36^\circ.$ Длина биссектрисы, проведенной из вершины $B,$ равна 10. Найдите длину высоты, проведенной из вершины $A$.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все натуральные числа $n$ такие, что число $n^4-2n^3+23n^2-22n+16$ является полным квадратом.
комментарий/решение(5)
Задача №3.  На олимпиаде «Шелковый Путь», где участвовали 100 школьников, были предложены четыре задачи. 1-ю задачу решили 90 школьников, 2-ю — 80, 3-ю — 70, а 4-ю — всего 60 школьников. Никто не решил все четыре задачи. Сколько школьников решили ровно по три задачи? Ответ обосновать.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Дано 2019-значное число, записанное с помощью цифр 1, 3 и 5. Делитель этого числа называется веселым, если его последняя цифра равна 7. Докажите, что меньше половины всех делителей числа являются веселыми.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $P$. Докажите, что если радиусы окружностей, описанных около треугольников $PAB$, $PBC$, $PCA$, равны, то точка $P$ — ортоцентр треугольника $ABC$.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Для положительных вещественных чисел $a,b,c$ удовлетворяющих условию $abc = 2,$ докажите неравенство $a^3+b^3+c^3 \ge a \sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}.$
комментарий/решение(3)