Областная олимпиада по математике, 2008 год, 11 класс


Задача №1.  В каждой из трех школ учатся по $n$ учеников ($n\in N$). Каждый ученик имеет ровно $n+1$ знакомых в двух других школах. Докажите, что найдутся три ученика, по одному из каждой школы, которые дружат друг с другом.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  В треугольнике $ABC$ $AB>AC$. Пусть $P$ и $Q$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $B$ и $C$ на биссектрису угла $\angle BAC$, соответственно. $D$ – точка на прямой $BC$ такая, что $DA\perp AP$. Докажите, что прямые $BQ$, $PC$ и $AD$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Определите все многочлены $f(x)$ с целыми коэффициентами такие, что $f(p)$ является простым для любого простого натурального числа $p$.
комментарий/решение
Задача №4.  В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) $D$ — середина $AC$, $E$ — проекция $D$ на $BC$, $F$ — середина $DE$. Докажите, что прямые $BF$ и $AE$ перпендикулярны.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Пусть $a, b, c$ — неотрицательные действительные числа, для которых $$\frac{1}{{a^2 + 1}} + \frac{1}{{b^2 + 1}} + \frac{1}{{c^2 + 1}} = 2.$$ Докажите неравенство $ab + bc + ca \leq \frac{3}{2}$.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Докажите, что существует бесконечное число натуральных значений $n$, для каждого из которых $n!$ делится нацело на $n^2+1$.
комментарий/решение(1)