Областная олимпиада по математике, 2008 год, 9 класс


Задача №1.  Докажите, что для любого натурального числа $n$ и неотрицательного действительного числа $a$ выполняется неравенство $$ n(n + 1)a + 2n \geq 4\sqrt a (\sqrt 1 + \sqrt 2 + \dots + \sqrt n ).$$
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $BC$, $CA$, $AB$ в точках $M$, $N$, $P$ соответственно. Пусть $D$ — точка на стороне $NP$ такая, что $DP\cdot CD=BD\cdot DN$. Докажите, что $DM\perp PN$.
комментарий/решение(1)
Задача №3. $1$0 чисел $1, ~4, ~7, ~\dots , ~28$ (разница между соседними числами $3$) расположили на окружности. Пусть $N$ — наибольшее из $10$ сумм, полученных суммированием значений двух соседних чисел к каждому числу. Какое наименьшее возможное значение $N$?
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Пусть $M$ — точка внутри треугольника $ABC$. Известно, что $\angle BAC=70^\circ $, $\angle ABC=80^\circ $, $\angle ACM=10^\circ $, $\angle CBM=20^\circ $. Докажите, что $AB=MC$.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Определите все пары натуральных чисел $(x, y)$ таких, что $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{[x,y]}} + \frac{1}{{(x,y)}} = \frac{1}{2}, $$ где $(x, y)$ — наибольший общий делитель чисел $x, y$ и $[x, y]$ — наименьшее общее кратное чисел $x, y$.
комментарий/решение
Задача №6. В стране 100 дорог (каждая дорога соединяет ровно два города и на дорогах двустороннее движение). Известно, что из любых трех дорог можно выбрать две, которые не выходят из одного города. Докажите, что найдутся 40 дорог, никакие две из которых не выходят из одного города.
комментарий/решение