Областная олимпиада по математике, 2007 год, 11 класс


Задача №1. Эльфы и тролли сидят за круглым столом, всего 60 существ. Тролли всегда лгут, эльфы говорят правду, кроме случаев, когда они «ошибаются». Каждый из сидящих утверждает, что сидит между эльфом и троллем, причем ровно два эльфа «ошиблись». Сколько троллей сидит за столом?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BD$, $D$ лежит на стороне $AC$. Пусть $E$ и $F$ основания перпендикуляров, опущенных из точек $A$ и $C$ на прямую $BD$, соответственно. $M$ — такая точка на стороне $BC$, что $DM$ перпендикулярно $BC$. Докажите, что $\angle EMD = \angle DMF$.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Пусть $n$ — натуральное число, $p$ — простое, причем $(n+1)^p-n^p$ делится на некоторое натуральное число $q$. Докажите, что $(q-1)$ делится на $p$.
комментарий/решение
Задача №4.  Найдите все функции $f: [0, +\infty)\rightarrow [0, +\infty)$, которые удовлетворяют условиям:
а) для любых $x, y\in [0, +\infty)$ с условием $x + y > 0$ выполняется равенство $f\left( {xf(y)} \right) \cdot f(y) = f\left( {\frac{{xy}}{{x + y}}} \right)$;
б) $f(1) = 0$;
в) $f(x) > 0$ для любого $x > 1$.
комментарий/решение(1)
Задача №5. Многочлен $x^k+a_1x^{k-1}+a_2x^{k-2}+ \dots +a_k$ имеет ровно $k$ различных корней, $k\geq 2$. Докажите, что $a_1^2>\frac{2ka_2}{k-1}$.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Дан треугольник $ABC$. Пусть $r$ — радиус вписанной в него окружности; $r_a$ — радиус полуокружности с центром на стороне $BC$, касающейся сторон $AB$ и $AC$. Аналогично определяются $r_b$ и $r_c$. Докажите справедливость равенства $2/r=1/r_a+1/r_b+1/r_c$.
комментарий/решение
Задача №7.  Чудаковатый математик написал книгу, страницы которой пронумерованы от 2 до 400 и читать которую следует так: сначала находим последнюю страницу (400-ю) и читаем страницы (по возрастанию) с номерами, которые имеют общие делители > 1 с 400. Затем берем последнюю из непрочитанных страниц и повторяем то же самое, то есть уже читаем страницы с номерами, имеющими общий делитель >1 с 399. Далее процесс повторяется с последней непрочитанной страницей и так далее. Итак, последовательно нами будут прочитаны страницы с номерами: 2, 4, 5, $\dots$, 400, 3, 7, 9, $\dots$, 399, $\dots$. Какая страница будет прочитана последней?
комментарий/решение
Задача №8.  Найдите все четверки рациональных чисел $a$, $b$, $c$, $d$, удовлетворяющие уравнениям: $8a^2-3b^2 + 5c^2 + 16d^2-10ab + 42cd +18a + 22b-2c -54d =42$, $15a^2 - 3b^2 + 21c^2 - 5d^2+ 4ab + 32cd- 28a +14b -54c -52d = - 22$.
комментарий/решение