Районная олимпиада, 2000-2001 учебный год, 11 класс


Задача №1.  Доказать, что $(x - y)^5 + (y - z)^5 + (z - x)^5$ делится на $5(x - y)(y - z)(z - x)$, где $x, y, z$ — целые попарно неравные числа.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найти геометрическое место вершин парабол $y = x^2 + (2p + 1)x + p^2 - 1$, где $p$ — действительное число.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Найти действительные корни уравнения ${x^2} + 2ax + \frac{1}{{16}} = - a + \sqrt {{a^2} + x - \frac{1}{{16}}}\,$, $0 < a < \frac{1}{4}$.
комментарий/решение
Задача №4.  Существует ли многогранник, имеющий 25 ребер?
комментарий/решение(1)