Областная олимпиада по математике, 2004 год, 11 класс


Задача №1.  Школьник выбрал два целых положительных числа $m$ и $n$. Он называет целое положительное число $k$ $\it{хорошим}$, если из отрезков длинами $\log _3m$, $\log _3n$ и $\log _3k$ можно построить треугольник. Он нашел все хорошие числа, их оказалось ровно 100. Найдите максимально возможное значение $m$.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Основание $ABCDE$ пирамиды с вершиной $S$ вписано в окружность и $AB < DE$. Если $SA$ – самое длинное ребро, выходящее из вершины $S$, то докажите, что $SB>SC$.
комментарий/решение(1)
Задача №3. В олимпиаде участвуют 45 школьников. Выяснилось, что любые двое из них, имеющие одинаковое количество знакомых среди участников олимпиады, не знакомы друг с другом. Каково наибольшее возможное число знакомых пар школьников среди участников олимпиады?
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Найдите все функции $f:\mathbb{R}^ +\to \mathbb{R}^ +$ такие, что $f(x + y) + f(x)f(y) = f(x) + f(y) + f(xy),$ где $\mathbb{R}^+$ обозначает множество неотрицательных действительных чисел.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Сумма положительных действительных чисел $x$, $y$ и $z$ равна 1. Докажите неравенство: $$ \sqrt {xy + z} + \sqrt {yz + x} + \sqrt {zx + y} \leq \frac{{xy + z}} {{x + y}} + \frac{{yz + x}} {{y + z}} + \frac{{zx + y}} {{z + x}}. $$
комментарий/решение(1)
Задача №6. Джамиля выбирает положительное целое число $n$ и сообщает его Махамбету. Махамбет в свою очередь выбирает число $k$ и сообщает его Джамиле. Джамиля на бумаге чертит $n$ различных окружностей и выбирает $k$ различных точек, каждая из которых принадлежит, по крайней мере, одной из окружностей. Потом она стирает все окружности, оставляя на бумаге лишь выбранные $k$ точек. Какое наименьшее число должен выбрать Махамбет, чтобы по оставшимся точкам наверняка восстановить одну из окружностей?
комментарий/решение(1)
Задача №7.  Пусть правильный 2004-угольник вписан в окружность единичного радиуса. Рассмотрим множество $Q$ четырехугольников, все вершины которых совпадают с некоторыми вершинами этого многоугольника, а длины сторон и диагоналей не равны 2. Пусть $R$ – подмножество $Q$, состоящее из четырехугольников, содержащих центр окружности внутри себя. Докажите, что число элементов $R$ составляет ровно половину числа элементов $Q$.
комментарий/решение
Задача №8. Для каких простых чисел $p$ уравнение $x^2+y^2=2003+pz$ имеет решение в целых числах $x$, $y$ и $z$?
комментарий/решение(1)