Областная олимпиада по математике, 2004 год, 10 класс


Задача №1.  Найдите целую часть числа $ \dfrac{1} {{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1} {{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + \dfrac{1} {{\sqrt 5 + \sqrt 6 }} + \dots + \dfrac{1} {{\sqrt {2003} + \sqrt {2004} }}. $
комментарий/решение(2)
Задача №2. Опишите все многочлены $P(x)$ с целочисленными коэффициентами, удовлетворяющие условию: для каждого целого положительного $n$ число $2^n-1$ делится на $P(n)$.
комментарий/решение
Задача №3.  Длина пяти ребер тетраэдра, вписанного в сферу радиуса 2, равна 3. Найдите длину шестого ребра тетраэдра.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Найдите все функции $f:\mathbb{R}^ +\to \mathbb{R}^+$ такие, что $f(x + y) + f(x)f(y) = f(x) + f(y) + f(xy),$ где $\mathbb{R} ^+$ обозначает множество неотрицательных действительных чисел.
комментарий/решение
Задача №5.  Для положительных действительных чисел $a$, $b$ и $c$ докажите неравенство: $$ \left( {\frac{a} {{b + c}} + \frac{1} {2}} \right)\left( {\frac{b} {{c + a}} + \frac{1} {2}} \right)\left( {\frac{c} {{a + b}} + \frac{1} {2}} \right) \geq 1. $$
комментарий/решение(1)
Задача №6. Внутри треугольника выбраны окружности $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ одинакового радиуса такие, что каждая из них касается двух сторон треугольника, а окружность $\omega$ касается этих окружностей внешним образом. Докажите, что центр окружности $\omega$ лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника.
комментарий/решение
Задача №7. Можно ли найти множество $S$ из 2004 различных целых положительных чисел такое, что для любых $a$, $b \in S$ имеет место равенство ${\mathop{\hbox{НОД}}\nolimits} (a,b)=|a-b|$?
комментарий/решение(3)
Задача №8.  Пусть правильный 2004-угольник вписан в окружность единичного радиуса. Рассмотрим множество $Q$ четырехугольников, все вершины которых совпадают с некоторыми вершинами этого многоугольника, а длины сторон и диагоналей не равны 2. Пусть $R$ — подмножество $Q$, состоящее из четырехугольников, содержащих центр окружности внутри себя. Докажите, что число элементов $R$ составляет ровно половину числа элементов $Q$.
комментарий/решение