Областная олимпиада по математике, 2002 год, 11 класс


Задача №1.  Дана окружность $\omega$, и точки $P$ и $Q$ на ней. Пусть $M$ — середина $PQ$. На окружности выбраны точки $A$ и $C$ таким образом, что $AC$ проходит через $M$. Также на окружности выбраны точки $C$ и $D$ таким образом, что $ABCD$ является трапецией. Прямая $AB$ параллельна прямой $CD$, и обе они параллельны $PQ$. Докажите, что точка $X$, являющаяся точкой пересечения прямых $AD$ и $BC$, не зависит от выбора точки $A$ на данной окружности.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все значения целого $n$ при котором многочлен $P(x)=x^5-nx-n-2 $ может быть представлен в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами (не являющихся константами).
комментарий/решение
Задача №3.  Вещественные числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют равенству $x+y+z=0$. Докажите, что $6{\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)^2} \leq {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^3}$.
комментарий/решение
Задача №4.  В трех школах учатся по 200 школьников в каждой. У каждого школьника имеется как минимум один друг в каждой школе (если школьник $a$ является другом школьника $b$, то $b$ является другом $a)$. Известно, что множество $\Sigma $, состоящее из 300 школьников, такое что для любой школы $S$ и любых двух школьников $x$, $y\in \Sigma $ которые не учатся в школе $S$, число друзей в школе $S$ для $x$ и $y$ различны. Докажите, что найдутся три ученика, по одному из каждой школы, которые дружат друг с другом.
комментарий/решение
Задача №5.  Найдите все функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ для которых при любых вещественных $x$ и $y$ справедливо равенство $f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2.$
комментарий/решение(3)
Задача №6.  Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Произвольная прямая проходит через $B$ и вторично пересекает первую окружность в точке $C$, вторую — в точке $D$. Касательные к первой окружности в $C$, а ко второй — в $D$ пересекаются в точке $M$. Через точку пересечения $AM$ и $CD$ проходит прямая, параллельная $CM$, пересекающая $AC$ в точке $K$. Докажите, что $KB$ касается второй окружности.
комментарий/решение
Задача №7.  Пусть $a, b, c, d >0$ и $\dfrac{1}{1+a^{4}}+\dfrac{1}{1+b{ }^{4}}+\dfrac{1}{1+c^{4}}+\dfrac{1}{1+d^{4}}=1.$ Докажите, что $abcd \geq 3$.
комментарий/решение(2)
Задача №8.  В алфавите некоторого языка имеется $n$ букв. Последовательность букв называется словом тогда и только тогда, если между любыми двумя одинаковыми буквами в ней не найдется двух одинаковых букв. Найдите количество слов максимально возможной длины.
комментарий/решение