Областная олимпиада по математике, 2002 год, 10 класс


Задача №1.  Докажите, что для любых вещественных положительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $$ \sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\le \sqrt[3]{2(a+b)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)}. $$
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все натуральные числа $a$, $b$ и $c$, удовлетворяющие равенству $a!+2002b! = c!$.
комментарий/решение
Задача №3.  Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются друг друга внутренним образом (радиус $\omega_1$ меньше радиуса $\omega_2)$ в точке $A$. К окружности $\omega_1$ проведена касательная $l$, параллельная прямой, проходящей через центры окружностей. $l$ касается $\omega_1$ в точке $B$ и пересекает окружность $\omega_2$ в точках $C$ и $D$. Докажите, что $AB$ является биссектрисой угла $CAD$.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  В трех школах учатся по 200 школьников в каждой. У каждого школьника имеется как минимум один друг в каждой школе (если школьник $a$ является другом школьника $b$, то $b$ является другом $a$). Известно, что существует множество $\Sigma $, состоящее из 300 школьников, такое что для любой школы $S$ и любых двух школьников $x$, $y\in \Sigma $ которые не учатся в школе $S$, число друзей в школе $S$ для $x$ и $y$ различны. Докажите, что найдутся три ученика, по одному из каждой школы, которые дружат друг с другом.
комментарий/решение
Задача №5.  Решите следующую систему уравнений в вещественных положительных числах: $$ \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {x_{1} +x_{2} + \dots +x_{n} =9,} \\ {\frac{1}{x_{1} }+\frac{1}{x_{2} }+ \dots +\frac{1}{x_{n} }=1.} \\ \end{array} }} \right. $$
комментарий/решение
Задача №6.  Найдите все функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ для которых при любых вещественных $x$ и $y$ справедливо равенство $f(xf(y)+x)=xy+f(x)$.
комментарий/решение(1)
Задача №7.  В треугольнике $ABC$ длины всех сторон являются целыми числами, а радиус вписанной окружности равен 1. Докажите, что треугольник $ABC$ является прямоугольным.
комментарий/решение
Задача №8.  Дана колода из 52 карт над которыми разрешается проводить следующие операции:
а) менять местами первые две карты;
б) переставлять первую карту на последнее место.
Докажите, что используя эти операции можно расставить карты в произвольном порядке.
комментарий/решение