Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2018 год


Задача №1.  Пусть $H$ является точкой пересечения высот треугольника $ABC$, $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Пусть точка $H$ лежит внутри четырехугольника $BMNC$, а описанные окружности треугольников $BMH$ и $CNH$ касаются друг друга. Прямая, проходящая через точку $H$ и параллельная прямой $BC$, пересекает описанные окружности треугольников $BMH$ и $CNH$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Пусть $F$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $NL$, а $J$ является центром вписанной окружности треугольника $MHN$. Докажите, что $FJ = FA$. ( Mahdi Etesamifard )
комментарий/решение
Задача №2.  Функции $f(x)$ и $g(x)$ заданы следующим образом: $f(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x-2} + \dfrac{1}{x-4} + \cdots + \dfrac{1}{x-2018}$ и $g(x) = \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x-3} + \dfrac{1}{x-5} + \cdots + \dfrac{1}{x-2017}.$ Докажите, что неравенство $|f(x) - g(x)| > 2$ выполняется для всех нецелых действительных $x$, удовлетворяющих условию $0 < x < 2018$. ( Australia )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Набор из $n$ квадратов на плоскости, называется трисвязным, если выполняются одновременно три условия:
(i) Все квадраты равны между собой.
(ii) Если два квадрата имеют общую точку $P$, тогда $P$ является вершиной каждого из них.
(iii) Каждый квадрат касается в точности трех других квадратов.
Сколько существует различных натуральных чисел $n$ из промежутка $2018 \le n \le 3018$, для которых найдется набор из $n$ квадратов, являющийся трисвязным? ( Australia )
комментарий/решение
Задача №4.  Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$. Из вершины $A$ выходит луч, который достигнув каждой из сторон отражается по обычному закону отражения: угол падения равен углу отражения. После $n$ отражений луч возвращается в вершину $A$ без попадания в другие вершины треугольника. Найдите всевозможные значения числа $n$. ( Daniel Perales, Jorge Garza )
комментарий/решение
Задача №5.  Найдите все такие многочлены $P(x)$ с целыми коэффициентами, что при любых действительных $s$ и $t$, если значения $P(s)$ и $P(t)$ оба являются целыми, то $P(st)$ также является целым. ( Ting-Wei Chao )
комментарий/решение
результаты