XVII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2018 год


Задача №1.  В остроугольном треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$, $BC$, $AC$ соответственно взяты точки $H$, $L$, $K$ так, что $CH \perp AB$, $HL \parallel AC$, $HK \parallel BC$. Пусть $P$ и $Q$ — основания высот треугольника $HBL$, проведенные из вершин $H$ и $B$ соответственно. Докажите, что основания высот треугольника $AKH$, проведенные из вершин $A$ и $H$, лежат на прямой $PQ$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Найдите все функции $f:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ такие, что для любого действительного числа $x$ выполнены равенства $$f\left(x+1\right)=1+f(x) \quad \text{и} \quad f\left(x^4-x^2\right)=f(x)^4-f(x)^2.$$ ($\mathbb{R}$ — множество действительных чисел.) ( Navid Safaei )
комментарий/решение
Задача №3.  Дано натуральное $n$. Назовём словом последовательность из $n$ букв алфавита, а расстоянием $\rho(A, B)$ между словами $A=a_1a_2\dots a_n$ и $B=b_1b_2\dots b_n$ -- количество разрядов, в которых они отличаются (то есть количество таких $i$, для которых $a_i\ne b_i$). Мы скажем, что слово $C$ лежит между словами $A$ и $B$, если $\rho (A,B)=\rho(A,C)+\rho(C,B)$. Какое наибольшее количество слов можно выбрать так, чтобы среди любых трёх нашлось слово, лежащее между двумя другими? ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №4.  Существует ли последовательность натуральных чисел $a_1,a_2,\ldots$, в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз, такая, что число $\tau(na_{n+1}^n+\left(n+1\right)a_n^{n+1})$ делится на $n$ для любого натурального $n$? ($\tau(n)$ — количество натуральных делителей числа $n$). ( Сатылханов К. )
комментарий/решение
результаты