35-я Балканская математическая олимпиада. Белград, Сербия, 2018 год


Задача №1.  В окружность $k$ вписан четырехугольник $ABCD$ такой, что $AB > CD$ и $AB \nparallel CD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. На отрезке $AB$ нашлась точка $E$ такая, что $EM \perp AB$. Известно, что $\angle MEC = \angle MED$. Докажите, что $AB$ является диаметром $k$.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Пусть $q$ --- положительное рациональное число. Два муравья первоначально находятся некоторой точке $X$ плоскости. На $n$-ой минуте ($n = 1$, $2$, $\ldots$) каждый муравей выбирает одно из четырех направлении: север, восток, юг или запад; затем ходит на расстояние $q^n$ метров в выбранном направлении. Оказалось, что после натурального число минут они попали в одну и ту же точку плоскости (не обязательно в $X$), при этом их маршруты отличались. Определите все возможные значения $q$.
комментарий/решение
Задача №3.  Боб и Алиса играют в следующую игру. Игра начинается с двух куч, в каждой из которых находится ненулевое количество монет. Разрешается выбрать любую кучу с четным количеством монет, и половину монет из этой кучи переложить в другую. Игру начинает Алиса, далее ходят по очереди. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.
Определите все пары натуральных чисел $(a, b)$ таких, что если изначально первая и вторая кучи имеют $a$ и $b$ монет соответственно, то у Боба всегда есть выигрышная стратегия.
комментарий/решение
Задача №4.  Найдите все пары простых чисел $(p,q)$ таких, что число $11^p+17^p$ делится на $3p^{q-1}+1$.
комментарий/решение
результаты