Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2018 год


Задача №1.  На сколько частей можно разрезать фигуру на рисунке ниже так, чтобы все части были одинаковыми? Укажите всевозможные варианты. (Две фигурки считаются одинаковыми, если одна из них может быть получена из другой поворачиванием или (и) переворачиванием. Резать можно только по линиям сетки.)


комментарий/решение
Задача №2.  Дана последовательность $\{a_n\}$, определенная следующим образом: $a_1=1$ и $ a_{n+1}=\sqrt{a_n^2-2a_n+3}+1$ для всех натуральных $n \ge 1.$ Найдите $a_{129}$.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Докажите, что если для некоторых целых чисел $a$, $b$ и $c$ выполнено равенство $\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \dfrac{2c}{b+c},$ то произведение $bc$ является квадратом некоторого целого числа.
комментарий/решение(3)
Задача №4.  В треугольнике $ABC$ точка $I$ — центр вписанной окружности. На лучах $AI$ и $BI$ за точку $I$ соответственно взяты точки $A_1$ и $B_1$ такие, что $\angle ACA_1 = \angle BCB_1 = 90^\circ.$ Пусть $M$ — середина отрезка $A_1B_1$. Докажите, что прямые $IM$ и $AB$ перпендикулярны.
комментарий/решение
Задача №5.  Докажите равенство $\sum\limits_{n = 1}^{9999} {\dfrac{1}{{\left( {\sqrt n + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt[4]{n} + \sqrt[4]{{n + 1}}} \right)}} = 9} .$
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Докажите, что существует 2018 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно 25 чисел являются точными квадратами.
комментарий/решение
Задача №7.  Даны три концентрические окружности радиусов 3, 4 и 5. Пересекающиеся хорды $AB$ и $CD$ окружности радиуса 5 касаются окружностей радиусов 3 и 4 соответственно. Докажите, что прямые $AC$ и $BD$ пересекаются под прямым углом.
комментарий/решение(1)
Задача №8.  В обществе из $n$ членов каждое непустое подмножество считается комиссией. В каждой комиссии нужно выбрать председателя, соблюдая правило: если комиссия $C$ разбивается на две меньшие комиссии, то председателем $C$ должен быть один из председателей меньших комиссий. Сколькими способами можно выбрать председателей?
комментарий/решение