Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2018 год


Задача №1.  В мешке лежат белые и красные шары. Алмас вынул один шар, затем заглянул в мешок и сказал: «5/7 оставшихся шаров — белые», после чего положил шар обратно в мешок. Затем один шар вынула Мадина, заглянула в мешок и сказала: «12/17 оставшихся шаров — белые». Сколько шаров было в мешке первоначально?
комментарий/решение
Задача №2.  На доске написано семь целых чисел. Известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из этих чисел делится на 5.
комментарий/решение
Задача №3.  На сколько частей можно разрезать фигуру на рисунке ниже так, чтобы все части были одинаковыми? Укажите всевозможные варианты. (Две фигурки считаются одинаковыми, если одна из них может быть получена из другой поворачиванием или (и) переворачиванием. Резать можно только по линиям сетки.)


комментарий/решение
Задача №4.  Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, в котором $\angle B =\angle C=90^\circ$, $AB=BC=2CD$. Точка $M$ — середина стороны $BC$, а $N$ — точка пересечения отрезков $AC$ и $BD$. Докажите, что прямые $MN$ и $AD$ пересекаются под прямым углом.
комментарий/решение
Задача №5.  На рисунке ниже на двух параллельных прямых $a$ и $b$ отмечены точки $A$ и $B$. Известно, что угол 1 в два раза меньше угла 2, а угол 3 в два раза меньше угла 4. Докажите, что угол $ACB$ в два раза меньше угла $ADB$.


комментарий/решение
Задача №6.  Вверх по дереву с постоянными скоростями ползут две гусеницы. Три часа назад первая из них была в 2,5 раза выше над землей, чем вторая. Два часа назад первая гусеница была в 1,5 раза выше, чем вторая. А в настоящее время гусеницы находятся на одинаковой высоте над землей. Через сколько часов вторая гусеница окажется в 1,5 раза выше, чем первая?
комментарий/решение
Задача №7.  Решите уравнение в целых числах: $6x^2+3xy-13x-5y+29=0.$
комментарий/решение(1)
Задача №8.  25 ладей стоят на шахматной доске. Докажите, что можно выбрать 4 из этих ладей так, что никакие две ладьи не стоят на одной строке или в одном столбце.
комментарий/решение