Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 6 класс, 2018 год


Задача №1.  Дано натуральное число $A$. Рассмотрим пять утверждений:
1) $A$ — двузначное число;
2) $A$ делится на 5;
3) $A$ не больше 14;
4) $A$ квадрат натурального числа;
5) $A$ нечетное число.
Найдите все возможные значения числа $A$, если только 4 утверждения являются истинными.
комментарий/решение
Задача №2.  На сколько частей можно разрезать фигуру на рисунке ниже так, чтобы все части были одинаковыми? Укажите всевозможные варианты. (Две фигурки считаются одинаковыми, если одна из них может быть получена из другой поворачиванием или (и) переворачиванием. Резать можно только по линиям сетки.)


комментарий/решение
Задача №3.  На столе лежат 45 фишек, одна сторона которых белая, а другая — чёрная. 9 фишек лежат белой стороной вверх, остальные — вниз. Возможно ли не подглядывая разделить фишки на две группы так, чтобы в этих группах было одинаковое количество, лежащих белой стороной вверх? (Фишки можно переворачивать.)
комментарий/решение
Задача №4.  Дан сетчатый прямоугольник $19\times 98$. Двое играют в игру, по очереди закрашивая квадраты, которые не имеют закрашенных клеток (квадраты не обязательно единичные и их стороны должны лежать на линиях сетки). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре: первый или второй игрок?
комментарий/решение
Задача №5.  На рисунке ниже можно найти девять прямоугольников. Известно, что у каждого из них и длина и ширина — целые числа. Сколько прямоугольников из этих девяти могут иметь нечетную площадь?


комментарий/решение
Задача №6.  Однажды дракон поймал 2018 принцесс и посадил их в пещеру. Слуга дракона внимательно следит за принцессами в пещере и записывает на листочке общее количество морганий глазами всех принцесс. Дракон объявил, что будет съедать любую из принцесс, как только сумма цифр числа, записанного на листочке, является простым числом. Известно, что больше 1 минуты человек не может не моргать. Какое максимальное количество принцесс может остаться в пещере через час?
комментарий/решение
Задача №7.  Существует ли хотя бы один такой набор натуральных чисел, что сумма кубов всех чисел равна 20172017, а произведение всех чисел равно 20182018? (Числа могут повторяться.)
комментарий/решение
Задача №8.  Над документами работают четверо. На ночь документы запирают в сейфе. Какое наименьшее число замков необходимо установить на сейфе и как раздать ключи, чтобы никакие двое из этих четверых людей не могли открыть сейф, а любые трое могли это сделать?
комментарий/решение