Республиканская олимпиада по математике, 2018 год, 10 класс


Задача №1.  Диагонали трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) пересекаются в точке $K$. На прямой $AD$ отмечены точки $L$ и $M$ так, что $A$ лежит на отрезке $LD$, $D$ лежит на отрезке $AM$, $AL=AK$ и $DM=DK$. Докажите, что прямые $CL$ и $BM$ пересекаются на биссектрисе угла $BKC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Дополненная десятичная запись натурального числа $n$ — это представление его в виде суммы степеней числа 10 с целыми неотрицательными показателями, в котором каждое слагаемое повторяется не более 10 раз. Сколько различных дополненных десятичных записей у числа $n=2018 \, 2018 \, 2018 \dots 2018$ (число 2018 выписано 100 раз, то есть $n$ является 400-значным числом)? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Пусть $\mathbb{R}^{+}$ — множество положительных действительных чисел. Найдите все функции $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ такие, что $f\left(3{f\left(xy\right)}^2+\left(xy\right)^2\right)={(xf\left(y\right)+yf\left(x\right))}^2$ для любых $x,y\in\mathbb{R}^{+}$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)
Задача №4.  Даны натуральные числа $a$, $b$, $c$ и $d$ такие, что числа $a$ и $b$ взаимно просты и $a > b.$ Известно, что число $c^2$ делится на $a^2+b$, а число $d^2$ делится на $a^2+b^2.$ Докажите, что $cd > 2a^2.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)
Задача №5.  Докажите, что для любых действительных чисел $a,b,c\in(0,1)$ выполняется неравенство $\left(\sqrt2a-bc\right)\left(\sqrt2b-ca\right)\left(\sqrt2c-ab\right)\le\frac{1}{8}.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)
Задача №6.  Диагонали вписанного выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Пусть $\ell$ — прямая, делящая угол $AOB$ пополам. Обозначим через $(\ell_1,\ell_2,\ell_3)$ невырожденный треугольник, образованный прямыми $\ell_1,\ell_2,\ell_3$. Пусть $\Delta_1=(\ell,AB,CD)$ и $\Delta_2=(\ell,AD,BC)$. Докажите, что описанные окружности треугольников $\Delta_1$ и $\Delta_2$ касаются друг друга. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)
результаты