Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 11 класс


Задача №1.  Сумма длин боковых сторон вписанной трапеции равна $4\sqrt{10}$, ее высота равна 6, а площадь равна 72. Найдите радиус описанной окружности.
комментарий/решение(3)
Задача №2.  Операция $*$ обладает свойствами $x*0=0$ и $x*(y+1)=x*y+(x-y)$. Вычислите $100*10$.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Решите уравнение $10^x+11^x+12^x=13^x+14^x$ в вещественных числах.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Сколько шестизначных натуральных чисел, кратных 3, десятичная запись которых содержит только цифры 0, 1, 2?
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Решите в неотрицательных целых числах уравнение $2^a\cdot 3^b-3^{b+1}+2^a=13.$
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Длины сторон треугольника удовлетворяют соотношению $\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} = \dfrac{3}{{a + b + c}}.$ Найдите средний по величине угол треугольника.
комментарий/решение(1)