Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 11 класс


Задача №1.  Найти $a$, если $\int\limits_{0}^{a}{[x]dx}=2017.$ (Здесь $\left[ x \right]$ означает наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $\left[ 12,6 \right]=12,$ $\left[ -3,75 \right]=-4.$)
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Решите уравнение $f\left( 2-x \right)=g\left( x+1 \right)$, где $f(x)$ и $g(x)$ – функции, определённые на $\mathbb{R}$ и при всех $x\in \mathbb{R}$ удовлетворяющие равенствам $2f\left( x+1 \right)-g\left( 3-x \right)=2{{x}^{2}}+11x-4,$ $f\left( 3-x \right)+g\left( x+1 \right)={{x}^{2}}-5x+19.$
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Из точки $O$ опустили перпендикуляр $OP$ на сторону $AB$. Прямая $OP$ пересекает сторону $CD$ в точке $Q$. Найдите $OQ$, если $AD=2,$ $AB=1$ и $\angle CDB=30{}^\circ .$
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Айбек отметил внутри правильного шестиугольника некоторую точку и соединил её отрезками с каждой из вершин. Получившиеся шесть треугольников он покрасил через один в два цвета - красный и зеленый. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей зеленых треугольников.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Даны два квадратных трёхчлена $P(x)$ и $Q(x)$ с целыми коэффициентами. Докажите, что существует многочлен $R(x)$ с целыми коэффициентами, степень которого не превосходит 2, такой, что $R(8)\cdot R(12)\cdot R(2017)=P(8)\cdot P(12)\cdot P(2017)\cdot Q(2017)\cdot Q(12)\cdot Q(8).$
комментарий/решение(1)
Задача №6.  У Деда Мороза имеется 674 яблока, 674 апельсина и 674 мандарина, которые он собирался отправить в два различных города в качестве новогодних подарков детям. Дед Мороз решил разложить эти фрукты по двум коробкам так, чтобы в каждой коробке присутствовали фрукты всех трёх видов, и произведения количества яблок, количества апельсинов и количества мандаринов в каждой коробке было одинаковым. Сколькими способами он мог так сделать?
комментарий/решение(2)