Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 8 класс


Задача №1.  Найти все натуральные числа $m$ и $n$, которые удовлетворяют уравнению $1!+2!+\ldots +n!={{m}^{2}}.$
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Имеется 11 шаров – 5 красных и 6 белых. Известно, что один красный шар и один белый шар радиоактивны. Про любую группу шаров за одну проверку детектором можно узнать, есть ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Как с помощью не более чем 6 проверок выявить оба радиоактивных шара?
комментарий/решение(1)
Задача №3.  В прямоугольном треугольнике $ABC$ на гипотенузе $AB$ выбрана точка $E$ так, что $AC=CE$. Биссектрисы $CL$ и $EK$ треугольника $BCE$ пересекаются в точке $I$. Известно, что треугольник $IKC$ равнобедренный. Найдите $CL:AB.$
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Найдите квадратный трёхчлен $P(x)=a{{x}^{2}}+bx+c,$ если $\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)P(x)+9x+10=2{{x}^{4}}+9{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}.$
комментарий/решение(2)
Задача №5.  Дан треугольник $ABC$. На стороне $AB$ выбрана точка $K$, а на отрезке $CK$ – точка $L$ так, что $AK=KL=\frac{1}{2}KB.$ Известно, что $\angle CAB=45{}^\circ ,$ $\angle CKB=60{}^\circ .$ Доказать, что $AL=BL=CL.$
комментарий/решение(2)
Задача №6.  Сколькими способами можно представить число 2017 в виде суммы нескольких слагаемых, расположенных в неубывающем порядке, причём разность между последним и первым слагаемыми не должна превышать 1.
комментарий/решение