4-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2017 год, вторая лига, 9-10 классы


Задача №1.  В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^\circ$. Пусть $E$ и $F$ — основания высот из вершин $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что $CE-BF=\frac{3}{2}(AC-AB).$
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Произвольная прямая, проходящая через $B$, пересекает $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $C$ и $D$ соответственно. Точки $E$ и $F$ выбраны на $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно так, что $CE=CB$ и $BD=DF$. Пусть $BF$ пересекает $\omega_1$ в точке $P$, а $BE$ пересекает $\omega_2$ в точке $Q$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение
Задача №3.  На плоскости даны $n$ точек ($n > 2$), никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждые две из них проведена прямая, а среди остальных $n-2$ точек отмечена ближайшая к этой прямой точка (оказалось, что во всех случаях эта точка единственная). Какое наибольшее число точек может быть отмечено для каждого $n$?
комментарий/решение
Задача №4.  Дан равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=AC$). Пусть $l$ — прямая, проходящая через точку $A$ параллельно $BC$, $D$ — произвольная точка на прямой $l$. Обозначим через $E$ и $F$ основания перпендикуляров, опущенных из точки $A$ на $BD$ и $CD$ соответственно. Пусть $P$ и $Q$ — проекции точек $E$ и $F$ на прямую $l$. Докажите, что $AP+AQ \leqslant AB$.
комментарий/решение
Задача №5.  Пусть $X$ и $Y$ — точки на стороне $BC$ треугольника $ABC$ такие, что $2XY=BC$ ($X$ лежит между $B$ и $Y$). Пусть $AA'$ — диаметр описанной окружности треугольника $AXY$. Обозначим через $P$ точку пересечения прямой $AX$ и прямой, проходящей через $B$ перпендикулярно $BC$, а через $Q$ обозначим точку пересечения прямой $AY$ и прямой, проходящей через $C$ перпендикулярно $BC$. Докажите, что касательная, проведенная из $A'$ к описанной окружности треугольника $AXY$, проходит через центр описанной окружности треугольника $APQ$.
комментарий/решение