Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, I тур дистанционного этапа


Задача №1.  На доске выписаны в ряд все натуральные числа от 1 до 2018: 1, 2, 3, $\ldots$, 2018. Найдите среди них какие-нибудь два, после стирания которых сумма всех чисел, стоящих между стёртыми, оказалась вдвое меньше суммы всех остальных не стёртых чисел? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)
Задача №2.  В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BD$, а в треугольниках $ABD$ и $CBD$ биссектрисы $DE$ и $DF$ соответственно. Оказалось, что $EF \parallel AC$. Найдите угол $DEF$. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(3)
Задача №3.  Для каждой пары различных натуральных чисел $a$ и $b$, не больших 20, Петя нарисовал на доске прямую $y = ax+b$ (то есть он нарисовал прямые $y = x+2, \ldots , y = x+20,$ $y = 2x+1, y = 2x+3,$ $\ldots,$ $y = 2x+20,$ $\ldots,$ $y = 3x+1, y = 3x+2, y = 3x+4,$ $\ldots,$ $y = 3x+20,$ $\ldots , y = 20x+1, \ldots , y = 20x+19).$ Вася нарисовал на той же доске окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Сколько Петиных прямых пересекает Васину окружность? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Квадрат со стороной 100 разрезали на квадраты (не обязательно одинаковые) со сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата и меньшими 10. Докажите, что сумма периметров получившихся квадратов не меньше 4400. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(3)
Задача №5.  На каждой из пяти карточек написано какое-то число. Карточки лежат на столе числами вниз. Мы можем, заплатив рубль, указать на любые три карточки, и нам сообщат сумму написанных на них чисел. За какую наименьшую цену можно наверняка узнать сумму всех пяти чисел? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2)