Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2017 год


Задача №1.  Найдите все такие положительные целые $m$, для которых найдется пара различных положительных целых чисел $a,b$, что числа ${{2017}^{{{2018}^{a}}}}+{{m}^{{{2018}^{a}}}}$ и ${{2017}^{{{2018}^{b}}}}+{{m}^{{{2018}^{b}}}}$ не взаимно просты.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Дан выпуклый n-угольник $M$. Пусть $k$ – наименьшее число точек, которое можно отметить внутри $M$ так, чтобы внутри любого пятиугольника, вершины которого являются вершинами $M$, оказалось ровно 3 точки из отмеченных. Докажите, что $k\ge n-2$. («внутри» означает строго внутри, не на границе) ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Окружность $\omega $, проходящая через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Окружность $\Gamma$ касается отрезка $EF$ в точке $P$ и дуги $AB$ описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $Q$. Докажите, что $C$, $P$, $Q$ лежат на одной прямой. ( Конаныхин А. )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Найдите все функции $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$, удовлетворяющие следующим условиям:
(a) существует бесконечно много попарно различных конечных множеств $S$ таких, что для любого $k\in S$, $f\left( k \right)$ также $\in S$;
(b) для любых различных $m,n\in \mathbb{N}.$
$m-n | f\left( m \right)-f\left( n \right)$. (Знак «|» означает делит; по другому, если $a|b$, то $b$ делится на $a$.) ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)