Западно-Китайская математическая олимпиада, 2013 год


Задача №1.  Существуют ли такие целые $a,b,c$, что $a^2bc+2,$ $ab^2c+2,$ $abc^2+2$ — полные квадраты?
комментарий/решение
Задача №2.  Даны действительные $x_1,x_2,\ldots,x_n\in \left[0,1\right]$ ($n \ge 2$). Докажите, что $\sum\limits_{1 \le k < j \le n} k {x_k}{x_j} \le \frac{{n - 1}}{3}\sum\limits_{k = 1}^n k {x_k}.$
комментарий/решение
Задача №3.  Дан треугольник $ABC$. $B_1,C_1$ — центры вневписанных окружностей, соответствующих $B,C$. Точки $B_2,C_2$ симметричны $B_1,C_1$ относительно середин $AC,AB$, соответственно. Вневписанная окружность касается стороны $BC$ в точке $D$. Докажите, что прямые $AD$ и $B_2C_2$ перпендикулярны.
комментарий/решение
Задача №4.  $n\geq 2$ монет лежат в ряд. Разрешено проводить следующую операцию: если одна из монет лежит орлом вверх, можно одновременно перевернуть любое нечетное число монет, лежащих подряд, начиная с этой. Если в начале $m-1$ монета лежит орлом вверх, то можно ли проделать операцию $\left[ {\frac{{{2^m}}}{3}} \right]$ раз?
комментарий/решение
Задача №5.  Непустое множество $A$ называется $n$-хорошим, если $ A \subseteq \{1,2,3,\ldots,n\}$ и $|A| \le \min_{x\in A} x$ ($\min_{x\in A} x$ обозначает наименьший элемент $A$). Пусть $a_n$ обозначает число $n$-хороших множеств. Докажите, что для всех натуральных $n$ верно равенство $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}+1$.
комментарий/решение
Задача №6.  $PA, PB$ — касательные из точки $P$ к окружности с центром в $O$, а $C$ — точка на меньшей дуге $AB$. Перпендикуляр из $C$ к $PC$ пересекает биссектрисы углов $AOC,BOC$ в $D,E$, соответственно. Докажите, что $CD=CE$.
комментарий/решение
Задача №7.  Напишем числа от $1$ до $n$ на сторонах правильного $n$-угольника по часовой стрелке. Найдите все $n\geq 4$, удовлетворяющие такому условию: можно так выбрать $n-3$ непересекающиеся диагонали (которые делят $n$-угольник на $n-2$ неперекрывающихся треугольника) и написать на них какие-то целые числа, что суммы чисел, написанных на сторонах каждого треугольника, равны.
комментарий/решение
Задача №8.  Найдите все натуральные $a$ такие, что для любого натурального $n\ge 5$ верно $2^n-n^2\mid a^n-n^a$.
комментарий/решение(1)