Западно-Китайская математическая олимпиада, 2007 год


Задача №1.  Пусть $ T = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$. Найдите количество непустых подмножеств $ A$ множества $ T$ таких, что $ 3|S(A)$ и $ 5\nmid S(A)$, где $ S(A)$ обозначает сумму элементов $ A$.
комментарий/решение
Задача №2.  Окружности $ O_1$ и $ O_2$ пересекаются в точках $ C$ и $ D$. Прямая, проходящая через $ D$, пересекает $ O_1$ и $ O_2$ во второй раз в точках $ A$ и $ B$, соответственно. Точки $ P$ и $ Q$ лежат на окружностях $ O_1$ и $ O_2$, соответственно. Прямые $ PD$ и $ AC$ пересекаются в $ H$, а прямые $ QD$ и $ BC$ — в $ M$. $ O$ — центр описанной окружности треугольника $ ABC$. Докажите, что $ OD\perp MH$ тогда и только тогда, когда $ P,Q,M$ и $ H$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение
Задача №3.  Даны такие действительные числа $ a,b,c$, что $ a+b+c=3$. Докажите, что \[\frac{1}{5a^2-4a+11}+\frac{1}{5b^2-4b+11}+\frac{1}{5c^2-4c+11}\leq\frac{1}{4}.\]
комментарий/решение
Задача №4.  Точка $ O$ лежит внутри треугольника $ ABC$. Докажите, что существуют натуральные числа $ p,q$ и $ r$ такие, что \[ |p\cdot\overrightarrow{OA} + q\cdot\overrightarrow{OB} + r\cdot\overrightarrow{OC}| < \frac{1}{2007}.\]
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Существует ли такой треугольник с целыми длинами сторон, что длина самой короткой стороны равна $ 2007$ и наибольший угол в два раза больше наименьшего?
комментарий/решение
Задача №6.  Найдите все такие натуральные $n$, для которых существуют $ x_1,x_2,\ldots,x_n,y\in\mathbb{Z}$, причем $x_1,x_2,\ldots,x_n,y\neq 0$, удовлетворяющие равенствам: $x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 0,$ $ny^2 = x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2.$
комментарий/решение
Задача №7.  Внутри остроугольного треугольника $ ABC$ выбрали точку $ P$. Прямые $ AP,BP,CP$ пересекают $ BC,CA,AB$ в точках $ D,E,F$, соответственно. Оказалось, что $ \triangle DEF$ и $ \triangle ABC$ подобны. Докажите, что $ P$ является точкой пересечения медиан $ \triangle ABC$.
комментарий/решение
Задача №8.  Круг поделен $ n$ диаметрами на $ 2n$ равных секторов. $ n$ из этих секторов покрашены в синий, а остальные — в красный. Красные сектора пронумерованы числами от $ 1$ до $ n$ против часовой стрелки, а синие пронумерованы числами от $ 1$ до $ n$ по часовой стрелке. Докажите, что найдется полукруг, в котором есть сектора всех номеров (в каком-то порядке).
комментарий/решение