Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2017 год


Задача №1.  Функции $f$ и $g$ определены на множестве всех целых чисел из промежутка $[-100; 100]$ и принимают целые значения. Докажите, что для некоторого целого $k$ число решений уравнения $f(x)-g(y)=k$ нечётно. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №2. Диагонали $AC$ и $BD$ вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$ под прямым углом. Точка $Q$ на отрезке $PC$ выбрана так, что $AP=QC$. Докажите, что периметр треугольника $BQD$ не меньше чем $2AC$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение
Задача №3.  В прямоугольном треугольнике все стороны рациональны, а площадь равна $S$. Докажите, что существует прямоугольный треугольник, не равный исходному, у которого все стороны рациональны и площадь равна $S$. ( S. Chan )
комментарий/решение
Задача №4.  Имеется 25 масок, каждая своего цвета. $k$ мудрецов играют в игру: им показывают все маски, потом они договариваются между собой, после чего им надевают маски таким образом, что каждый из них видит маски на всех остальных (но не знает, на ком они надеты) и не видит свою. Никакие формы взаимодействия при этом не разрешаются. Все они одновременно называют по одному цвету, пытаясь угадать цвет своей маски. При каком наименьшем $k$ они могут так заранее договориться, чтобы хотя бы один из них непременно угадал? ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №5.  Существует ли такой квадратный трехчлен $f(x)$, что $f(1/2017)=1/2018$ и $f(1/2018)=1/2017$ и два его коэффициента целые? ( А. Храбров )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Обозначим через $\sigma(n)$ сумму натуральных делителей числа $n$. Дано натуральное число $N=2^r b$, где $r$ и $b$ натуральные числа, причем $b$ нечетно. Известно, что $\sigma(N)=2N-1$. Докажите, что числа $b$ и $\sigma(b)$ взаимно просты. ( J. Dris, J. Antalan )
комментарий/решение
Задача №7.  На продолжении стороны $AD$ прямоугольника $ABCD$ за точку $D$ выбрана точка $E$. Луч $EC$ вторично пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $ABE$, в точке $F$. Лучи $DC$ и $AF$ пересекаются в точке $P$. На прямую $\ell$, проходящую через точку $E$ параллельно прямой $AF$, опущен перпендикуляр $CH$. Докажите, что прямая $PH$ касается окружности $\omega$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение
Задача №8.  На плоскости даны две точки $A$ и $B$. Назовём точку $X$ их нелепой серединой, если на плоскости существует такая декартова система координат, что точки $A$ и $B$ имеют в ней неотрицательные координаты, причем абсцисса точки $X$ в этой системе равна среднему геометрическому абсцисс точек $A$ и $B$, а ордината — среднему геометрическому ординат $A$ и $B$. Найдите геометрическое место всех нелепых середин точек $A$ и $B$. ( К. Тыщук )
комментарий/решение
результаты