Республиканская олимпиада по математике, 2017 год, 11 класс


Задача №1.  Неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$. Касательная к этой окружности в точке $C$ пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Пусть биссектриса угла $CDB$ пересекает отрезки $AC$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. На стороне $AB$ взята точка $M$ такая, что $AK/BL=AM/BM$. Пусть перпендикуляры из точки $M$ к прямым $KL$ и $DC$ пересекают прямые $AC$ и $DC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что угол $CQP$ в два раза меньше угла $ACB$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Даны действительные числа $x,y,z\ge \dfrac{1}{2}$ такие, что ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$. Докажите неравенство $\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z} \right)\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \right)\ge 2.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)
Задача №3.  Бесконечная, строго возрастающая последовательность $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ натуральных чисел удовлетворяет условию ${{a}_{{{a}_{n}}}}\le {{a}_{n}}+{{a}_{n+3}}$, при всех $n\ge 1$. Докажите, что существуют бесконечно много троек $\left( k,l,m \right)$ натуральных чисел таких, что $k < l < m$ и ${{a}_{k}}+{{a}_{m}}=2{{a}_{l}}$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Остроугольный треугольник $ABC$ $(AC > BC)$ вписан в окружность с центром в точке $O$, а $CD$ — диаметр этой окружности. На продолжении луча $DA$ за точку $A$ взята точка $K$, а на отрезке $BD$ точка $L$ $(DL > LB)$ так, что $\angle OKD = \angle BAC$, $\angle OLD = \angle ABC$. Докажите, что прямая $KL$ проходит через середину отрезка $AB$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Рассмотрим всевозможные наборы натуральных чисел $(x_1,x_2, \ldots,x_{100})$ такие, что $1 \le x_i \le 2017$ для каждого $i =1, 2, \ldots, 100$. Будем говорить, что набор $(y_1,y_2, \ldots,y_{100})$ больше набора $(z_1,z_2, \ldots,z_{100})$, если $y_i > z_i$ для каждого $i =1, 2, \ldots, 100$. Какое наибольшее число наборов можно выписать на доску так, чтобы никакой набор не был больше никакого другого? ( Ильясов С., Аманкельды А. )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Докажите, что существуют бесконечно много составных натуральных чисел $n$, для которых число ${{2}^{\frac{n-1}{2}}}+1$ делится на $n$. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(2)
результаты