Республиканская олимпиада по математике, 2017 год, 10 класс


Задача №1.  Можно ли числа $1$, $2$, $\ldots$, $2017$ разбить на три непустых множества $A$, $B$ и $C$ так, что для любых $a\in A$, $b\in B$ и $c\in C$ числа $ab+c$ и $ac+b$ не являлись точными квадратами? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $ такие, что $\left| y-f\left( f\left( x \right) \right)\left| \ge \right|f{{\left( x \right)}^{2}}+xf\left( y \right) \right|$ для любых действительных $x$ и $y$. Здесь $\mathbb{R}$ — множество действительных чисел. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Точки $K$ и $N$ лежат на стороне $AC$, а точки $M$ и $L$ на стороне $BC$ так, что $AN=CK=CL=BM.$ Пусть отрезки $KL$ и $MN$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что $\angle RPN = \angle QPK$, где $R$ — середина стороны $AB$, а $Q$ — середина дуги $ACB$ окружности, описанной около треугольника $ABC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №4. Остроугольный треугольник $ABC$ $(AC > BC)$ вписан в окружность с центром в точке $O$, а $CD$ — диаметр этой окружности. На продолжении луча $DA$ за точку $A$ взята точка $K$, а на отрезке $BD$ точка $L$ $(DL > LB)$ так, что $\angle OKD = \angle BAC$, $\angle OLD = \angle ABC$. Докажите, что прямая $KL$ проходит через середину отрезка $AB$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  В каждую клетку таблицы $100\times 100$ записано одно из чисел 1,2,...,100, причем каждое из этих чисел встречается в таблице 100 раз. Назовем линией любую строку или столбец таблицы. За один ход разрешается взять линию, в котором сумма чисел больше 100, и обнулить все числа на этой линии. Какое наибольшее количество ненулевых чисел может остаться в таблице, если известно, что после нескольких ходов во всех линиях сумма чисел не превосходит 100? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Найдите все пары нечетных натуральных чисел $\left( a,b \right)$ таких, что $a,b < {{2}^{2017}}$, а числа ${{a}^{b}}+b$ и ${{b}^{a}}+a$ делятся на ${{2}^{2017}}$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)
результаты