Областная олимпиада по математике, 2017 год, 10 класс


Задача №1.  На доске выписаны числа 1,2, $\ldots$, 2016, 2017. За один шаг разрешается выбрать три идущие подряд числа $a$, $b$ и $c$, из которых ни одно не равно 0, и заменить их на тройку чисел $b-1$, $c-1$, $a-1$ в указанном порядке. Какую наименьшую сумму записанных на доске чисел можно получить, делая такие шаги?
комментарий/решение
Задача №2. В остроугольном треугольнике $ABC$ сторона $AB$ больше стороны $AC$. На стороне $AB$ выбрана такая точка $D$, что $\angle ACD=\angle CBD$. Точка $E$ — середина отрезка $BD$, а $S$ — центр окружности, описанной около треугольника $BCD$. Докажите, что точки $A$, $E$, $S$ и $C$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Дана последовательность ${{x}_{n}}~\left( n=1,2,\ldots \right)$, в которой ${{x}_{1}}=0.$ Известно, что для всех целых $n > 1$ ${{x}_{n}}={{x}_{n-1}}+\left[ \dfrac{{{n}^{2}}}{4} \right].$ (Здесь $\left[ a \right]$ означает наибольшее целое число, не превосходящее $a$). Определите все значения $n$, при которых ${{x}_{n}}$ делится на $n$.
комментарий/решение
Задача №4.  В компьютерной сети 2017 компьютеров. Любые два компьютера соединены кабелем. Из-за перегрузок в сети периодически перегорает один из кабелей в некоторой части сети, образующей цикл из четного числа компьютеров. Может ли через какое-то время остаться ровно 2016 целых кабелей, если ни один из перегоревших кабелей не ремонтируется?
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Докажите, что для всех положительных чисел $a,b,c$ справедливо неравенство $\dfrac{{{a}^{2}}}{3{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ac}+\dfrac{{{b}^{2}}}{3{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab}+\dfrac{{{c}^{2}}}{3{{c}^{2}}+{{a}^{2}}+2bc}\le \dfrac{1}{2}.$
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Дан треугольник $ABC$. Пусть $O$ — центр его описанной окружности, ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$ — середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Среди окружностей, которые содержат вершину $A$ и точку $O$, но не проходят через точки ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$ выберем окружность. Пусть эта окружность пересекает прямые $O{{B}_{1}}$ и $O{{C}_{1}}$ соответственно в точках $K$ и $L$. Докажите, что отношение $K{{B}_{1}}$ к $L{{C}_{1}}$ не зависит от выбора окружности.
комментарий/решение