Областная олимпиада по математике, 2017 год, 9 класс


Задача №1.  На доске выписаны числа 1,2, $\ldots$, 2016, 2017. За один шаг разрешается выбрать три идущие подряд числа $a$, $b$ и $c$, из которых ни одно не равно 0, и заменить их на тройку чисел $b-1$, $c-1$, $a-1$ в указанном порядке. Какую наименьшую сумму записанных на доске чисел можно получить, делая такие шаги?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. На сторонах $AC$ и $BC$ выбраны соответственно такие точки $K$ и $L$, что биссектрисы углов $KLB$ и $AKL$ пересекаются на отрезке $AB$ в точке $F$. Найдите отношение $AF:FB.$
комментарий/решение(1)
Задача №3.  При каких значениях параметра $a$ уравнение ${{x}^{2}}-3x\left[ x \right]+2x=a$ имеет ровно два различных положительных корня. (Здесь $\left[ x \right]$ означает наибольшее целое число, не превосходящее $x$).
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Какое максимальное число сторон может иметь выпуклый многоугольник, которого все углы имеют целочисленную градусную меру?
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Найдите все пары целых чисел $\left( x,y \right)$, удовлетворяющих уравнению ${{2}^{2x+1}}+9\cdot {{2}^{x}}+5={{y}^{2}}.$
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Докажите, что для всех положительных чисел $a,b,c$ справедливо неравенство $\dfrac{{{a}^{2}}}{3{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ac}+\dfrac{{{b}^{2}}}{3{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab}+\dfrac{{{c}^{2}}}{3{{c}^{2}}+{{a}^{2}}+2bc}\le \dfrac{1}{2}.$
комментарий/решение(1)