Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 10 класс


Задача №1.  Запишите произведение многочленов $\left( 1+x \right)\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{x}^{4}} \right)\cdots \left( 1+{{x}^{2048}} \right)$ в стандартном виде (т. е. в виде ${{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$).
комментарий/решение(3)
Задача №2.  На стороне $AB$ квадрата $ABCD$ выбрана точка $E$ так, что $AB~:AE=\sqrt{2}$. Описанная окружность треугольника $BED$ вторично пересекает прямую, проходящую через точку $B$ перпендикулярно $BD$, в точке $F$. Докажите, что треугольник $ABF$ равнобедренный.
комментарий/решение
Задача №3.  Вдоль береговой линии острова, имеющего форму круга, расположены 2016 маяков. Нерадивый чиновник, изображая бурную деятельность, каждый день наудачу меняет состояние трех маяков, либо подряд расположенных, либо идущих через один (т. е. в последовательности ABABA он меняет состояние маяков A). Чиновник будет уволен, если в какой-то момент все маяки погаснут. Стоит ли ему опасаться за свое место, если он припоминает, что в какой-то момент не горел только один маяк? (Поменять состояние маяка, значит включить его, если он выключен, и наоборот.)
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Докажите, что цифра единиц квадрата натурального числа равна 6 тогда и только тогда, когда цифра десятков квадрата нечетна.
комментарий/решение(7)
Задача №5.  В городе Одностороннем постоянно ведутся дорожные работы. Первого числа каждого месяца дорожное управление выбирает некоторые улицы города и вводит на них одностороннее движение, ремонтируя вторую половину дорожного полотна, а в конце месяца снова открывает эти дороги. Все операции проводятся так, что проезд между любыми двумя перекрестками в городе остается возможным. Известно, что каждые 10 лет дорожное покрытие города полностью обновляется. Докажите, что можно одновременно на каждой улице города ввести одностороннее движение так, что проезд между любыми двумя пунктами сохранится.
комментарий/решение
Задача №6.  Найдите все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, удовлетворяющие соотношению $yf\left( \dfrac{f\left( x \right)}{y}+1 \right)=x+f\left( y \right)$ для всех $x,~y\in \mathbb{R},~y\ne 0$.
комментарий/решение(1)