Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 8 класс


Задача №1.  Тестирование по математике на острове лжецов и рыцарей проходили 100 учеников, каждый из которых либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо лжец, который всегда лжёт. Первые 60 учеников, по очереди выходя после тестирования, заявили: «Среди оставшихся в аудитории учеников лжецов больше, чем рыцарей». Сколько рыцарей проходило тестирование?
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Операция $\nabla $ определена для всех целых чисел $n$ так, что $\nabla n=n-1$, если $n$ — нечётное число, и $\nabla n={{n}^{2}}-1$, если $n$ — чётное число. Например, $\nabla 15=14$, $\nabla \left( -6 \right)=35$. При каких целых $n$ выполняется равенство $\nabla \left( \nabla n \right)=3$.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Из вершины $A$ треугольника $ABC$ проведены перпендикуляры $AP$ и $AQ$ к биссектрисам углов этого треугольника при вершинах $B$ и $C$ соответственно.
а) Докажите, что отрезок $PQ$ параллелен стороне $BC$ треугольника $ABC$.
б) Вычислите длину отрезка $PQ$, если $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Можно ли расставить шесть фотографов на площади таким образом, чтобы каждый из них мог сфотографировать ровно четырёх других? (Фотографы $A$ и $B$ могут сфотографировать друг друга, если на отрезке $AB$ нет других фотографов.)
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Найдите все натуральные числа $n$ такие, что три числа ${{n}^{2}}-10n+23$, ${{n}^{2}}-9n+31$ и ${{n}^{2}}-12n+46$ являются простыми числами.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Сколькими различными способами можно выложить в ряд 4 апельсина и 15 яблок так, чтобы между любыми двумя апельсинами оказалось не менее двух яблок (все апельсины и яблоки одинаковые)?
комментарий/решение(2)