Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2016 год


Задача №1.  Последовательность $(a_n)$ задана условиями $a_1=0$, ${a_{n + 1}} = \dfrac{{{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n}}}{n} + 1.$ Докажите, что $a_{2016}>{1\over 2}+a_{1000}$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №2. На одной из клеток клетчатой плоскости стоит кубик. На каждой грани кубика нарисована стрелочка в одном из четырёх направлений, параллельных сторонам грани. Антон смотрит на кубик сверху и перекатывает его через ребро в направлении, указанном стрелкой, нарисованной на верхней грани. Докажите, что кубик никогда не заметет никакого квадрата $5\times 5$. ( А. Чухнов )
комментарий/решение
Задача №3.  Высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $A_0$, $B_0$, $C_0$ -- середины сторон $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно. На отрезках $AH$, $BH$ и $HC_1$ отмечены точки $A_2$, $B_2$, $C_2$ соответственно, такие что $\angle A_0B_2A_2 = \angle B_0C_2B_2 = \angle C_0A_2C_2 =90^\circ$. Докажите, что прямые $AC_2$, $BA_2$ и $CB_2$ пересекаются в одной точке. ( А. Пастор )
комментарий/решение
Задача №4.  При каждом натуральном $k$ найдите число решений уравнения $8^k = x^3+y^3+z^3-3xyz$ в неотрицательных целых числах $x$, $y$, $z$, причем $0\!\leq\! x \!\leq\! y\!\leq\! z$. ( В. Шевелёв )
комментарий/решение(2)
Задача №5.  Простые числа $p$ и $q$ отличаются не более чем в два раза. Докажите, что найдутся такие два последовательных натуральных числа, что у одного из них наибольший простой делитель равен $p$, а у другого -- $q$. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №6.  Числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что $0 < a \leq b \leq d \leq c$ и $a+c=b+d$. Докажите, что для любой внутренней точки $P$ отрезка длины $a$ этот отрезок является стороной описанного четырёхугольника с последовательными сторонами $a$, $b$, $c$, $d$, вписанная окружность которого проходит через точку $P$. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение
Задача №7.  Докажите, что при $x$, $y$, $z > {3\over 2}$ выполнено неравенство ${x^{24}} + {\rm{ }}\sqrt[5]{{{y^{60}} + {z^{40}}}} \ge {\left( {{x^4}{y^3} + \frac{1}{3}{y^2}{z^2} + \frac{1}{9}{x^3}{z^3}} \right)^2}.$ ( К. Кохась )
комментарий/решение
Задача №8.  Дан связный граф. Докажите, что можно раскрасить все его вершины в синий и зелёный цвета и отметить в нём некоторые рёбра так, чтобы каждые две вершины были соединены путём из отмеченных рёбер, каждое отмеченное ребро соединяло вершины разных цветов и никакие две зелёные вершины не были соединены ребром исходного графа. ( В. Дольников )
комментарий/решение