Республиканская олимпиада по математике, 2016 год, 10 класс


Задача №1.  Дано натуральное $N$. Докажите, что все натуральные делители числа $N$ можно выписать в последовательность $d_1$, $\ldots$, $d_k$ так, чтобы для каждого $1\le i < k$ одно из чисел $d_i/d_{i+1}$ и $d_{i+1}/d_i$ было простым. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все рациональные числа $a$, для которых существует бесконечно много таких положительных рациональных чисел $q$, что уравнение $\left[ {{x}^{a}} \right]\cdot \left\{ {{x}^{a}} \right\}=q$ не имеет решений в рациональных числах $x$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Вокруг треугольника $ABC$ описана окружность $\omega$, а $I$ — точка пересечения биссектрис этого треугольника. Прямая $CI$ пересекает $\omega$ вторично в точке $P$. Пусть окружность с диаметром $IP$ пересекает $AI$, $BI$ и $\omega$ вторично в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Отрезки $KN$ и $AB$ пересекаются в точке $B_1$, а отрезки $KM$ и $AB$ — в точке $A_1$. Докажите, что $\angle ACB = \angle A_1IB_1$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $BC$ и $AC$ в точках $A_1$ и $B_1$, а вневписанная окружность, соответствующая стороне $AB$, касается продолжении этих сторон в точках $A_2$ и $B_2$ соответственно. Пусть вписанная в $\triangle ABC$ окружность касается стороны $AB$ в точке $K$. Обозначим через $O_a$ и $O_b$ центры описанных около треугольников $A_1A_2K$ и $B_1B_2K$ окружностей. Докажите, что прямая $O_aO_b$ проходит через середину отрезка $AB$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Найдите количество таких непустых подмножеств $T$ множества $S=\left\{ 0,1,2\ldots ,2015 \right\}$, что для любых двух элементов $a,b\in T$ (не обязательно различных) остаток от деления $2a+b$ на $2016$ тоже лежит в $T$. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Бесконечная строго возрастающая последовательность $\{a_n\}$ положительных чисел удовлетворяет соотношению $$a_{n+2}=(a_{n+1}-a_n)^{\sqrt{n}}+n^{-\sqrt{n}}$$ для каждого натурального $n$. Докажите, что для любого $C>0$ существует такое натуральное $m(C)$ (зависящее от $C$), что $a_{m(C)}>C$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
результаты