12-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2016 год


Задача №1.  Диагонали четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность с центром $O$, пересекаются в точке $M$. Описанная окружность треугольника $ABM$ пересекает стороны $AD$ и $BC$ в точках $N$ и $K$ соответственно. Докажите, что четырёхугольники $NOMD$ и $KOMC$ имеют равные площади. ( Гроздев С. )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{100}$ — перестановка чисел от 1 до 100. Пусть ${S_1} = {a_1},$ $ {S_2} = {a_1} + {a_2},$ ${S_{100}} = {a_1} + {a_2} + \ldots {a_{100}}.$ Какое наибольшее количество точных квадратов могло оказаться среди чисел $S_1$, $S_2$, $\ldots$, $S_{100}$? ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  В Графландии 60 городов, каждые два из которых соединены дорогой с односторонним движением. Докажите, что можно покрасить четыре города в красный цвет, а другие четыре — в зелёный так, чтобы каждая дорога, соединяющая красный город с зелёным, была направлена от красного к зелёному. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Найдите все $k>0$, при которых существует строго убывающая функция $g:(0,+\infty)\to (0,+\infty)$ такая, что $g(x)\geq kg(x+g(x))$ при всех положительных $x$. ( Исмаилов Ш.Н. )
комментарий/решение(3)
Задача №5.  Дан выпуклый шестиугольник $ABCDEF$, в котором $AB\parallel DE$, $BC\parallel EF$, $CD\parallel FA$. Точки $M$, $N$ и $K$ — точки пересечения прямых $BD$ и $AE$, $AC$ и $DF$, $CE$ и $BF$ соответственно. Докажите, что перпендикуляры, проведенные из точек $M$, $N$ и $K$ к прямым $AB$, $CD$ и $EF$ соответственно, пересекаются в одной точке. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Натуральное число $q$ назовём удобным знаменателем для вещественного числа $\alpha$, если $|\alpha-{p\over q}|<{1\over 10q}$ при некотором целом $p$. Докажите, что если у двух иррациональных чисел $\alpha$ и $\beta$ множества удобных знаменателей совпадают, то $\alpha+\beta$ или $\alpha-\beta$ — целое число. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
результаты