Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2009 год


Задача №1.  Все клетки доски $20\times 20$ пусты. Миша и Саша по очереди (начинает Миша) ставят по одной фишке в свободные клетки. Игрок, после хода которого на доске нашлись четыре фишки, стоящие на пересечении двух строк и двух столбцов, выигрывает. Кто выиграет при правильной игре? ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №2.  $P(x)$ — квадратный трехчлен. Какое наибольшее количество членов, равных сумме двух предыдущих, может быть в последовательности $P(1)$, $P(2)$, $P(3)$, $\dots$? ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №3.  Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $AD$ равны, $CD > AB+BC$. Докажите, что $\angle ABC > 120^\circ$. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение
Задача №4.  Каждое из подмножеств $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_n$ 2009-элементного множества $X$ содержит не менее 4 элементов. Пересечение любых двух из этих подмножеств содержит не более 2 элементов. Докажите, что в $X$ можно найти 24-элеметное подмножество $B$, не содержащее ни одного из множеств $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_n$. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение
Задача №5.  Фокусник просит зрителя задумать трехзначное число $\overline{abc}$, а затем назвать ему сумму чисел $\overline{acb}$, $\overline{bac}$, $\overline{bca}$, $\overline{cab}$ и $\overline{cba}$. Он утверждает, что узнав эту сумму, сможет назвать исходное число. Не обманывает ли он? ( Фольклор )
комментарий/решение
Задача №6.  Точка $M$ — середина основания $BC$ трапеции $ABCD$. На основании $AD$ выбрана точка $P$. Прямая $PM$ пересекает прямую $CD$ в точке $Q$, причем $C$ лежит между $Q$ и $D$. Перпендикуляр к основаниям, проведенный через точку $P$, пересекает прямую $BQ$ в точке $K$. Докажите, что $\angle QBC = \angle KDA$. ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №7.  Расстановку фишек в клетках квадрата $n\times n$ назовем редкой, если в любом квадрате $2\times 2$ стоит не более 3 фишек. Сергей поставил в некоторые клетки доски по одной фишке так, что получилась редкая расстановка. Он заметил, однако, что если переставить любую фишку на любую свободную клетку, то перестановка перестанет быть редкой. При каких $n$ это возможно? ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №8.  Сумма нескольких неотрицательных чисел не больше 200, а сумма их квадратов не меньше 2500. Докажите, что среди них есть четыре числа, сумма которых не меньше 50. ( А. Храбров )
комментарий/решение