Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2006 годд


Задача №1.  Даны семь различных нечетных простых чисел. Может ли так случиться, что разность восьмых степеней любых двух из них делится на любое из оставшихся чисел? ( Ф. Петров, К. Сухов )
комментарий/решение
Задача №2.  Бесконечную в обе стороны последовательность назовём последовательностью фибоначчиева типа, если каждый её член равен сумме двух предыдущих. Сколько существует различных последовательностей фибоначчиева типа, в которых есть два соседних натуральных члена, не превосходящих $N$? (Последовательности, отличающиеся сдвигом номеров, мы различными не считаем.) ( И. Певзнер )
комментарий/решение
Задача №3.  На плоскости даны точки $A$ и $B$, а также прямая $\ell$, проходящая через точку $B$. Рассмотрим произвольную окружность $\omega$, касающуюся прямой $\ell$ в точке $B$ и не содержащую внутри себя точку $A$. Касательные к $\omega$, проведенные из точки $A$, касаются $\omega$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что прямая $XY$ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности $\omega$. ( Ф. Бахарев )
комментарий/решение
Задача №4.  Найдите все функции $f\colon (0,\infty) \to (0,\infty)$, удовлетворяющие условиям $$ f(x+1)=f(x)+1 \quad\hbox{и}\quad f\left({1\over f(x)}\right)={1\over x} $$ при всех положительных $x$. ( P. Volkmann )
комментарий/решение
Задача №5.  В чемпионате Жуликании по боксу участвуют 100 боксеров разной силы. Каждые два боксера проводят между собой один бой. Несколько боксеров составили заговор: каждый из них в одном из боев подложит себе в перчатку свинцовую подкову. Если во время боя подкова подложена ровно у одного из двух его участников, то побеждает именно он; в противном случае побеждает сильнейший. По итогам чемпионата нашлось три боксера, выигравших больше боев, чем любой из трех сильнейших участников. Каким могло быть наименьшее количество заговорщиков? ( Н. Калинин )
комментарий/решение
Задача №6.  Точки $H$ и $M$ — ортоцентр и точка пересечения медиан остроугольного треугольника $ABC$. Точка $B_1$ — середина дуги $AC$ описанной окружности этого треугольника. Известно, что длина отрезка $B_1M$ равна радиусу описанной окружности. Докажите, что $BM\geq BH$. ( Ф. Бахарев )
комментарий/решение
Задача №7.  Из картонного клетчатого прямоугольника $n\times (n-1)$ вырезан уголок, состоящий из всех клеток первой строки и первого столбца (всего в нем $2n-2$ клетки). Клетки бесконечной клетчатой плоскости покрашены в $k$ цветов так, что при любом положении картонного уголка на этой плоскости (с учетом поворотов и переворотов) все покрытые им клетки имеют разный цвет. При каком наименьшем $k$ это возможно? ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №8.  Набором показателей натурального числа назовем неупорядоченный список показателей, с которыми простые числа входят в его разложение на простые множители. Например, числа $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5^1$ и $882=3^2\cdot 2^1\cdot 7^2$ имеют один и тот же набор показателей 1, 2, 2. Две возрастающие арифметические прогрессии $(a_n)$ и $(b_n)$ таковы, что при каждом $n$ числа $(a_n)$ и $(b_n)$ имеют одинаковые наборы показателей. Докажите, что эти прогрессии пропорциональны. ( А. Голованов )
комментарий/решение