Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2002 год


Задача №1.  Каждая из точек $G$ и $H$ соединена непересекающимися отрезками со всеми вершинами шестиугольника $ABCDEF$. Можно ли расставить на получившихся 18 отрезках числа 1, 2, 3, $\dots$, 18, а в точках $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ — некоторые числа (не обязательно целые) так, чтобы на каждом отрезке было написано число, равное разности чисел, написанных в его вершинах? ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №2.  На сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ так, что $AC_1:C_1B=BA_1:A_1C=CB_1:B_1A=2:1$. Докажите, что если треугольник $A_1B_1C_1$ — равносторонний, то и треугольник $ABC$ — равносторонний.
комментарий/решение(3)
Задача №3.  Существует ли квадратный трехчлен с целыми коэффициентами, все значения которого в натуральных точках — натуральные степени двойки? ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №4.  Прямоугольная доска с 2001 строчками и 2002 столбцами разбита на прямоугольники $1\times 2$ так, что некоторые два соседних столбца заполнены 2001 горизонтальным прямоугольником. Докажите, что в любом другом разбиении этой доски на прямоугольники $1\times 2$ найдется прямоугольник, содержавшийся и в исходном разбиении. ( С. Волчёнков )
комментарий/решение
Задача №5.  Докажите, что при всех $x,y\in [0;1]$ выполняется неравенство $5(x^2+y^2)^2\leq 4+(x+y)^4. $
комментарий/решение(1)
Задача №6.  В клетках таблицы $100\times100$ расставлены попарно различные числа. Каждую минуту каждое из чисел меняется на наибольшее из чисел, стоящих в соседних с ним по стороне клетках. Могут ли через 4 часа все числа в таблице оказаться одинаковыми?
комментарий/решение
Задача №7.  Дано натуральное число $c$. Последовательность $\{p_k\}$ строится по следующему правилу: $p_1$ — произвольное простое число, а при $k\geq 1$ число $p_{k+1}$ — любой простой делитель числа $p_k+c$, не встречающийся среди чисел $p_1$, $p_2$, $\dots$, $p_k$. Докажите, что последовательность $\{p_k\}$ не может быть бесконечной. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №8.  Окружность с центром $O$ касается сторон угла с вершиной $A$ в точках $K$ и $M$. Касательная к окружности пересекает отрезки $AK$ и $AM$ в точках $B$ и $C$ соответственно, а прямая $KM$ пересекает отрезки $OB$ и $OC$ в точках $D$ и $E$. Докажите, что площадь треугольника $ODE$ равна четверти площади треугольника $BOC$ тогда и только тогда, когда угол $A$ равен $60^\circ $.
комментарий/решение