Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2002 год


Задача №1.  Каждая из точек $G$ и $H$, лежащих по разные стороны от плоскости шестиугольника $ABCDEF$, соединена со всеми вершинами шестиугольника. Можно ли расставить на получившихся 18 отрезках числа 1, 2, 3, $\dots$, 18, а в точках $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ — некоторые вещественные числа так, чтобы на каждом отрезке было написано число, равное разности чисел, написанных в его вершинах? ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №2.  Произведение положительных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равно 1. Докажите, что $${1+ab\over 1+a}+{1+bc\over 1+b}+{1+cd\over 1+c}+{1+da\over 1+d}\geq 4.$$ ( А. Храбров )
комментарий/решение
Задача №3.  Окружность, концентрическая со вписанной окружностью треугольника $ABC$, пересекает стороны треугольника в шести точках, образующих выпуклый шестиугольник $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ (точки $A_1$ и $A_2$ лежат на стороне $BC$, $B_1$ и $B_2$ — на стороне $AC$, $C_1$ и $C_2$ — на стороне $AB$). Докажите, что если прямая $A_1B_1$ параллельна биссектрисе угла $B$, то прямая $A_2C_2$ параллельна биссектрисе угла $C$. ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №4.  Прямоугольная доска с 2001 строчками и 2002 столбцами разбита на прямоугольники $1\times 2$. Известно, что в любом другом разбиении этой доски на прямоугольники $1\times 2$ найдется прямоугольник, содержавшийся и в исходном разбиении. Докажите, что в исходном разбиении имеются два соседних столбца таблицы, заполненные 2001 горизонтальным прямоугольником. ( С. Волчёнков )
комментарий/решение
Задача №5. Дано натуральное число $c$. Последовательность $\{p_k\}$ строится по следующему правилу: $p_1$ — произвольное простое число, а при $k\geq 1$ число $p_{k+1}$ — любой простой делитель числа $p_k+c$, не встречающийся среди чисел $p_1$, $p_2$, $\dots$, $p_k$. Докажите, что последовательность $\{p_k\}$ не может быть бесконечной. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №6.  Найдите все функции $f(x)$, заданные и непрерывные на всей вещественной прямой, для которых при любом $x$ выполняются неравенства $$f(3x-2)\leq f(x)\leq f(2x-1).$$ ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №7.  $D$ и $E$ — такие точки описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, что $AD=AE$. Пусть $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Известно, что $AH^2=BH^2+CH^2$. Докажите, что точка $H$ лежит на отрезке $DE$. ( Д. Ширяев )
комментарий/решение
Задача №8.  Дано вещественное число $\alpha$. Последовательность $n_1 < n_2 < n_3 < \dots$ состоит из всех натуральных чисел $n$, для которых $\{n\alpha\} < {1\over 10}$. Докажите, что среди чисел $n_2-n_1$, $n_3-n_2$, $n_4-n_3$, $\dots$ не более трех различных.
комментарий/решение