Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2001 год


Задача №1.  Десять волейбольных команд сыграли между собой турнир; каждые две команды встретились ровно один раз. За выигрыш давалось 1 очко, за проигрыш — 0 (ничьих в волейболе не бывает). Докажите, что если команда, занявшая $n$-ое место, набрала $x_n$ очков ($n=1, \dots, 10$), то $x_1+2x_2+\dots+10x_{10}\geq 165$. ( Д. Терешин )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Решите в натуральных числах уравнение $(a^2,b^2)+(a,bc)+(b,ac)+(c,ab)=199.$ (Здесь $(x,y)$ — наибольший общий делитель). ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Существуют ли такие квадратные трехчлены $P$, $Q$, $R$, что для любых целых $x$ и $y$ найдется целое $z$, удовлетворяющее равенству $P(x)+Q(y)=R(z)$? ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №4.  Квадрат $ABCD$ со стороной 1 разбит на $10^{12}$ меньших квадратов (не обязательно равных). Докажите, что сумма периметров тех из этих квадратов, которые имеют общие точки с диагональю $AC$, не больше 1500. ( А.Я.Канель-Белов )
комментарий/решение
Задача №5.  Множество натуральных чисел разбито на непересекающиеся множества $N_1$ и $N_2$ такие, что разность чисел, лежащих в одном множестве, не является простым числом, большим 100. Найдите все такие разбиения. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  В квадрате $n \times n$ ($n > 2$) стоят ненулевые числа. Известно, что каждое число ровно в $k$ раз меньше, чем сумма всех чисел, стоящих с ним в одном "кресте" (т.е.\ в остальных $2n-2$ клетках той же строки и того же столбца) При каких $k$ такое возможно? ( С. Берлов, А. Храбров, Д. Ростовский )
комментарий/решение
Задача №7.  В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ лучи $DA$ и $CB$ пересекаются в точке $Q$, а лучи $BA$ и $CD$ — в точке $P$. Оказалось, что $\angle AQB=\angle APD$. Биссектриса угла $\angle AQB$ пересекает стороны $AB$ и $CD$ четырехугольника в точках $X$ и $Y$ соответственно, а биссектриса $\angle APD$ пересекает стороны $AD$ и $BC$ в точках $Z$ и $T$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ZQT$ и $XPY$ пересекаются в точке $K$ внутри четырехугольника. Докажите, что $K$ лежит на диагонали $AC$. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)
Задача №8.  Можно ли раскрасить все положительные действительные числа в 10 цветов так, чтобы любые два числа, десятичная запись которых отличается только в одном разряде, были разного цвета? (Десятичные записи, в которых все цифры, начиная с некоторой — девятки, не рассматриваются). ( А. Голованов )
комментарий/решение