Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 11 класс


Задача №1.  Пусть ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{2014}}$ — перестановка чисел 1, 2, $\ldots$, 2014. Какое наибольшее количество чисел среди чисел $a_{1}^{2}+{{a}_{2}}$, $a_{2}^{2}+{{a}_{3}}$, $\ldots$, $a_{2013}^{2}+{{a}_{2014}}$, $a_{2014}^{2}+{{a}_{1}}$ могут быть точными квадратами? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Существуют ли натуральные числа $a$ и $b$ такие, что для каждого натурального $n$ числа ${{a}^{n}}+{{n}^{b}}$ и ${{b}^{n}}+{{n}^{a}}$ взаимно просты? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Gamma$. Вписанная в треугольник окружность касается стороны $BC$ в точке $N$. $\omega $ — окружность, вписанная в сегмент $BAC$ окружности $\Gamma$, и проходящая через точку $N$. Пусть точки $O$ и $J$ — центры окружностей $\omega $ и вневписанной окружности (касающейся стороны $BC$), соответственно. Докажите, что прямые $AO$ и $JN$ параллельны. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(2)
Задача №4.  В неравнобедренном треугольнике $ABC$ вписанная окружность касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $C_1$ и $A_1$ соответственно, а вневписанная окружность (касающаяся стороны $AC$) — соответственно в точках $C_2$ и $A_2$. Точка $N$ — основание биссектрисы из вершины $B$. Прямая $A_1C_1$ пересекают прямую $AC$ в точке $K_1$. Пусть описанная окружности треугольника $BK_1N$ повторно пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $P_1$. Аналогично определим точки $K_2$ и $P_2$. Докажите, что $AP_1 = CP_2$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Обозначим через $\mathbb{Q} $ множество всех рациональных чисел. Найдите все функции $f:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$, удовлетворяющие для любых рациональных чисел $x,y,z$ равенству $f\left( x,y \right)+f\left( y,z \right)+f\left( z,x \right)=f\left( 0,x+y+z \right).$ ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Докажите, что для любого натурального $n$ на отрезке $[n-4\sqrt{n},~n+4\sqrt{n}]$ найдется число, представимое в виде ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$, где $x$ и $y$ — неотрицательные целые числа. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)
результаты