Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 10 класс


Задача №1.  Пусть $a, b, c$ — действительные числа такие, что $a + b + c = 0$ и $a^4 + b^4 + c^4 = 50$. Определите $ab + bc + ca$.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Вписанная окружность касается сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $M$ и $N$. Пусть $P$ — точка пересечения прямой $MN$ и биссектрисы угла $B$ (или ее продолжения). Докажите, что угол $BPC$ — прямой.
комментарий/решение
Задача №3.  Докажите, что существует 2009 последовательных натуральных составных чисел.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Докажите, что для любых $x_1 ,x_2 , \ldots ,x_n > 0$, для которых $x_1 x_2 \ldots x_n = 1$, выполнено неравенство $(1 + x_1 )(1 + x_2 ) \ldots (1 + x_n ) \geq 2^n$.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  В зале находятся $n>2$ человек. Доказать, что среди них найдутся 2 человека с одинаковым количеством знакомых.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Через вершину $C$ равностороннего треугольника $ABC$ проведена произвольная прямая, $K$ и $M$ — проекции точек $A$ и $B$ на эту прямую, $P$ — середина $AB$. Докажите, что треугольник $KMP$ — равносторонний.
комментарий/решение(1)