Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 9 класс


Задача №1.  Решить уравнение $x^2-y^2-x+y=10$ в натуральных числах.
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Окружность касается стороны $BC$ треугольника $ABC$ и продолжении сторон $AB$ и $AC$. Докажите, что расстояние от вершины $A$ до точки касания окружности с прямой $AB$ равно полупериметру треугольника $ABC$.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Сколькими способами можно представить натуральное число $n$ в виде $k$ натуральных слагаемых (представления, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными)?
комментарий/решение
Задача №4.  Рассмотрим функции $f(x)=|x-1|-|x-2|$ и $g(x)=|x-3|$.
a) Нарисуйте график функции $f(x)$
b) Определите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $f(x)$ и $g(x)$.
комментарий/решение
Задача №5.  Пусть точки $K$ и $P$ симметричны основанию $H$ высоты $BH$ треугольника $ABC$ относительно его сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Докажите, что точки пересечения отрезка $KP$ со сторонами $AB$ и $BC$ (или их продолжениями) — основания высот треугольника $ABC$.
комментарий/решение
Задача №6.  В зале находятся $n>2$ человек. Доказать, что среди них найдутся 2 человека с одинаковым количеством знакомых.
комментарий/решение