Районная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 10 класс


Задача №1.  Сколько вершин может иметь выпуклый многоугольник, если известно, что число его диагоналей делится на число его вершин?
комментарий/решение
Задача №2.  Дана трапеция $ABCD$ с основанием $AD$. Обозначим точку пересечения биссектрис внешних углов $A$ и $B$ через $M$, и точку пересечения биссектрисы внешних углов $C$ и $D$ через $N$. Доказать что длина отрезка $MN$ равна половине периметра трапеции.
комментарий/решение(3)
Задача №3.  Найдите все натуральные числа, представимые в виде $\dfrac{mn+1}{m+n}$, где $m$ и $n$ — натуральные числа.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Пусть $a$, $b$, $c$ — неотрицательные числа. Докажите, что $ab+bc+ca \geq \sqrt {3abc(a + b + c)}$.
комментарий/решение
Задача №5.  Дан остроугольный треугольник $ABC$. На сторонах $AB$ и $BC$ во внешнюю сторону построены равные прямоугольники $ABMN$ и $LBCK$ так, что $AB=KC$. Докажите, что прямые $AL$, $NK$ и $MC$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение
Задача №6.  Натуральные числа от 1 до 127 разбили на несколько (больше, чем на одну) групп с равными суммами. Докажите, что этих групп — четное число.
комментарий/решение