Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2009 год


Задача №1.  В связи с кризисом зарплата сотрудников фирмы понизилась на 1/5. На сколько процентов следует ее повысить, чтобы она была выше первоначальной зарплаты на 1/5?
комментарий/решение
Задача №2.  Действительные числа $a$ и $b$ таковы, что $b\ne 0$ и ${{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+10b$. Докажите, что $2{{a}^{2}}+10b=10a+{{b}^{2}}+ab$.
комментарий/решение
Задача №3.  На крайней правой клетке доски $1\times 40$ стоит фишка. Два игрока по очереди двигают эту фишку (вправо или влево) на любое число клеток, которое еще не встречалось при выполнении предыдущих ходов. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его противник?
комментарий/решение
Задача №4.  Треугольник, один из углов которого равен $40{}^\circ $, разрезали по его биссектрисам на шесть треугольников, среди которых есть прямоугольные. Какими могут быть остальные углы исходного треугольника?
комментарий/решение(1)
Задача №5.  В числе 10110011100011110000... девяносто цифр. Верно ли, что это число делится на ${{48}^{2}}$?
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Асан написал на доске несколько целых чисел. Марат подписал под каждым из чисел Асана его квадрат. После чего Айжан сложила все числа, написанные на доске, и получила 2009. Докажите, что кто-то из ребят ошибся.
комментарий/решение
Задача №7.  Можно ли на ребрах куба расставить числа от 1 до 12 (по одному числу на каждом ребре) так, чтобы сумма чисел на трех ребрах, выходящих из одной вершины, была одной и той же для каждой вершины куба?
комментарий/решение
Задача №8.  На сторонах $AB$ и $BC$ квадрата $ABCD$ как на основаниях построены равнобедренные треугольники $ABP$ и $BCQ$ с углом $80{}^\circ $ при вершине, причем точка $P$ лежит внутри квадрата, а точка $Q$ — вне квадрата. Найдите угол между прямыми $PQ$ и $BC$.
комментарий/решение(1)