Городская Жаутыковская олимпиада, 10-11 классы, 2003 год


Задача №1.  Решите систему уравнений в действительных числах \[\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} + ... + {x_{2003}} = 2003, \\ x_1^4 + x_2^4 + ... + x_{2003}^4 = x_1^3 + x_2^3 + ... + x_{2003}^3. \\ \end{gathered} \right.\]
комментарий/решение(1)
Задача №2.  В ромбе $ABCD$ угол при вершине $B$ равен $60{}^\circ $. Внутри $\Delta ADC$ выбрана точка $M$ таким образом, что $\angle AMC=120{}^\circ $. Пусть $P$ и $Q$ являются точками пересечения прямых $BA$ и $CM$, $BC$ и $AM$, соответственно. Докажите, что точка $D$ лежит на прямой $PQ$.
комментарий/решение
Задача №3.  Докажите, что уравнение ${{y}^{2}}={{x}^{3}}+7$ не имеет целых корней.
комментарий/решение
Задача №4.  В хоккейном турнире участвовало $N$ команд. Любые две команды сыграли между собой в точности один раз. (За выигрыш присуждается 2 очка, ничью 1 — очко, проигрыш — 0 очков). Известно, что для любых трех команд никакие две из них не набрали одинаковое количество очков в играх между этими тремя командами. Найдите наибольшее возможное количество ничейных результатов в данном турнире.
комментарий/решение