Республиканская олимпиада по математике, 2015 год, 10 класс


Задача №1.  Окружность $\omega$, описанная около треугольника $ABC$, пересекает стороны $AD$ и $DC$, параллелограмма $ABCD$, во второй раз в точках $A_1$ и $C_1$ соответственно. Обозначим через $E$ точку пересечения прямых $AC$ и $A_1C_1$. Пусть $BF$ — диаметр $\omega$, а точка $O_1$ симметрична центру $\omega$ относительно $AC$. Докажите, что прямые $FO_1$ и $DE$ перпендикулярны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)
Задача №2.  Дано натуральное число $a$. Докажите, что для любого натурального $m$ существует бесконечно много натуральных $n$ таких, что количество делителей числа $n{{a}^{n}}+1$ делится на $m$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  На плоскости заданы 2015 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и никакие четыре на одной окружности. Рассмотрим окружности, проходящие через три точки из данного множества и разбивающие остальные пополам, то есть 1006 лежит внутри окружности, а 1006 вне нее. Докажите, что найдутся хотя бы три окружности из рассмотренных, пересекающиеся по двум точкам из данного множества. ( Ильясов С. )
комментарий/решение
Задача №4.  Дана функция $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ такая, что для любых целых $x$ и $y$ выполнено $f\left( x-f\left( y \right) \right)-f\left( 2x-f\left( y \right) \right)=f{{\left( x \right)}^{2}}.$ Докажите, что для всех целых $x$ справедливо равенство $f\left( f\left( x \right) \right)=0$. Здесь $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$, отрезки $AB$ и $CD$ — общие внешние касательные к ним (точки $A$ и $C$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$ и $D$ — на $\omega_2$). Прямая $AD$ во второй раз пересекает окружность $\omega_1$ в точке $P$, а окружность $\omega_2$ в точке — $Q$. Пусть касательная к $\omega_1$ в точке $P$ пересекает $AB$ в точке $R$, а касательная к $\omega_2$ в точке $Q$ пересекает $CD$ в точке $S$. $M$ — середина отрезка $RS$. Докажите, что $MP=MQ$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)
Задача №6.  Даны натуральные числа $k$, $\ell$ и ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{k}}$ $\left( \ell \ge 2 \right)$. Докажите, что для любого натурального $M$ существует натуральное число $x$, такое, что каждое из чисел $x$, $x+1$, $\dots$, $x+M-1$ не представимо в виде $a_i^n+m^{\ell}$, где $n$ и $m$ — целые неотрицательные числа $\left( 1\le i\le k \right)$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
результаты