Республиканская олимпиада по математике, 2015 год, 9 класс


Задача №1.  Даны действительные числа $a,b,c > 1$. Докажите неравенство $a^a + b^b +c^c \geq a^b+b^c+c^a.$ ( Ким А. )
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Найдите все тройки попарно взаимно простых натуральных чисел $(a,b,c)$ такие, что для каждого натурального $n$ число ${{\left( {{a}^{n}}+{{b}^{n}}+{{c}^{n}} \right)}^{2}}$ делится на $ab+bc+ca$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)
Задача №3.  Вписанная и вневписанная окружности прямоугольного треугольника $ABC$, в котором угол $C$ прямой, касаются стороны $BC$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно. Аналогично определим точки ${{B}_{1}}$ и ${{B}_{2}}$. Докажите, что отрезки ${{A}_{1}}{{B}_{2}}$ и ${{B}_{1}}{{A}_{2}}$ пересекаются на высоте проведённой из вершины $C$ треугольника $ABC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)
Задача №4.  В треугольнике $ABC$ точка $N$ — основание биссектрисы угла $B$, а точка $M$ — середина стороны $AC$. На отрезке $BN$ нашлись точки $A_1$ и $C_1$ такие, что $NA=NA_1$ и $NC=NC_1$. Прямые $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $E$. Прямая $ME$ пересекает отрезок $BC$ в точке $F$. Докажите равенство $AB+BF=CF$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)
Задача №5.  Дано дерево полного пирамидального вида, которое состоит из ${n+1}$ уровней, и из каждой вершины исходит два ребра вниз и входит одно ребро сверху (при этом в самую верхнюю вершину уровня 1 не входит ни одно ребро, а из вершин последнего $(n+1)$-го уровня не исходят рёбра). На рисунке ниже пример показан для $n = 3$.
Сколько существует способов раскрасить ребра данного дерева в заданные $2^n$ цветов (каждое ребро покрашено в один цвет) так, чтобы для каждого цвета все рёбра, покрашенные в этот цвет, составляли путь из некоторой вершины в вершину последнего уровня? (Путь — это последовательность вершин, где каждая следующая вершина соединена ребром с предыдущей и находится уровнем ниже. )

( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(3)
Задача №6.  Найдите все такие пары натуральных чисел $(n,k)$, что число $(n+1)(n+2) \dots (n+k)-k$ является полным квадратом. ( Ильясов С., Овчинников Д. )
комментарий/решение(2)
результаты