Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2014-2015 учебный год, I тур регионального этапа


Задача №1.  На доске написаны четыре числа, ни одно из которых не равно 0. Если каждое из них умножить на сумму трёх остальных, получатся четыре одинаковых результата. Докажите, что квадраты записанных на доске чисел равны. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Разрешается вырезать из шахматной доски размером $20\times20$ любые $18$ клеток, а потом выставить на оставшиеся клетки несколько ладей, не бьющих друг друга. Какое наибольшее число ладей можно выставить таким образом? Ладьи бьют друг друга, если они стоят на одной горизонтали или вертикали доски и между ними нет вырезанных клеток. ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Делитель натурального числа называется собственным, если он меньше этого числа, но больше 1. У натурального числа $n$ нашли все собственные делители (их оказалось не меньше трёх) и записали всевозможные их попарные суммы (повторно одинаковые суммы не записывали). Докажите, что полученный набор не мог оказаться набором всех собственных делителей никакого натурального числа. ( А. Храбров )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекают стороны $CD$ и $DA$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Оказалось, что $\angle APB = \angle BQC$. Внутри четырёхугольника выбрана точка $X$ такая, что $QX \parallel AB$ и $PX \parallel BC$. Докажите, что прямая $BX$ делит диагональ $AC$ пополам. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)