11-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2015 год


Задача №1.  Каждая точка плоскости с целыми координатами покрашена в белый или голубой цвет. Докажите, что можно выбрать цвет так, чтобы при каждом натуральном $n$ нашёлся треугольник площади $n$ с тремя вершинами выбранного цвета. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Точка $M$ лежит внутри треугольника $ABC$. Прямая $BM$ пересекает сторону $AC$ в точке $N$. Точка $K$ симметрична $M$ относительно $AC$. Прямая $BK$ пересекает $AC$ в точке $P$. Докажите, что если $\angle AMP=\angle CMN$, то $\angle ABP=\angle CBN$. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(2)
Задача №3.  Найдите все функции $f:\Bbb R\to \Bbb R$ такие, что $f(x^3+y^3+xy)=x^2f(x)+y^2f(y)+f(xy)$ при всех $x, y\in \Bbb R$. ( Исмаилов Ш.Н. )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Найдите наибольшее натуральное $n$ такое, что для любого натурального $k \le \dfrac{n}{2}$ найдутся два натуральных делителя $n$ с разностью $k$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Обозначим через $A_n$ множество разбиений последовательности $1, 2, \dots, n$ на несколько подпоследовательностей, в каждой из которых любые два соседних члена имеют разную чётность, а через $B_n$ — множество разбиений последовательности $1, 2, \dots, n$ на несколько подпоследовательностей, в каждой из которых все члены имеют одинаковую чётность (например, разбиение $\{(1, 4, 5, 8), (2, 3), (6, 9), (7)\}$ является элементом $A_9$, а разбиение $\{(1, 3, 5), (2, 4), (6)\}$ является элементом $B_6$).
Докажите, что при каждом натуральном $n$ множества $A_n$ и $B_{n+1}$ содержат одинаковое количество элементов. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Площадь выпуклого пятиугольника $ABCDE$ равна $S$, а радиусы описанных окружностей треугольников $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$ и $EAB$ — $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_4$ и $R_5$. Докажите неравенство $R_1^4 + R_2^4 + R_3^4 + R_4^4 + R_5^4 \geq \dfrac{4}{{5{{\sin }^2}{{108}^\circ }}}{S^2}.$ ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)
результаты